出　　自： 《中國(guó)給水排水》 1989年第1期第14頁
發(fā)表時(shí)間： ： 1989-1

彭永臻

(哈爾濱建筑工程學(xué)院)

摘要：本文以非穩(wěn)定狀態(tài)下的活性污泥法處理系統(tǒng)，作為最優(yōu)控制的研究對(duì)象。根據(jù)現(xiàn)代控制理論，在有出水水質(zhì)和狀態(tài)變量等約束條件下，建立能求出使目標(biāo)函數(shù)為最小的最優(yōu)控制和數(shù)學(xué)模型。最后，對(duì)這個(gè)數(shù)字模型，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算并繪圖，求解出在幾種不同的約束條件下，最優(yōu)控制變量的變化規(guī)律。

前言

　　本文以進(jìn)水流量和進(jìn)水底物濃度，隨時(shí)間不斷變化的非穩(wěn)定狀態(tài)，完全混合式活性污泥法處理系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱處理系統(tǒng))作為控制對(duì)象；以處理系統(tǒng)的總運(yùn)行費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)。分別按無約束條件下、有約束條件下的最優(yōu)控制，來研究非穩(wěn)定狀態(tài)下的最優(yōu)控制。
完全混合式活性污泥法處理系統(tǒng)的流程，如圖1所示。

　　進(jìn)水中微生物濃度X 0 和出水中微生物濃度X e 都非常低，并且是一進(jìn)一出，因此，在進(jìn)行物料衡算時(shí)可忽略不計(jì)。為了簡(jiǎn)化，假設(shè)進(jìn)水的底物經(jīng)初沉池后都是溶解性的，并且曝氣池中的溶解氧濃度和二沉池中的活性污泥總量維持不變，這在控制中是可以做到的。如圖1所示，有兩種排放污泥的方式，即從污泥回流管線上排除或從曝氣池中直接排除。有很多人認(rèn)為:從曝氣池中直接排放污泥更為合理，因?yàn)檫@種排泥方式有利于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更有效的控制及其后的污泥濃縮。因此，本文將根據(jù)從曝氣池中排泥的流程，來推導(dǎo)處理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和進(jìn)行控制。
　　處理系統(tǒng)的控制變量有污泥的排放量Q w X，供氧量和回流污泥量Q r 、X r 。由于前面假定了曝氣池中的溶解氧濃度和二沉池中的微生物總量不變，所以供氧量的控制，將由曝氣池中的耗氧速度來決定。而回流污泥流量Q r 根據(jù)物料平衡可由下式來決定。

定義，從圖1所示的特定的處理系統(tǒng)來看，無論是用污泥齡控制處理系統(tǒng)的運(yùn)行，還是用BOD—污泥負(fù)荷來控制，最后都必須通過控制排放污泥量來實(shí)現(xiàn)。就是說，在假定了曝氣池中溶解氧濃度和二沉池中的活性污泥總量不變的條件下，控制排放污泥量是過程控制的唯一手段，它和控制污泥齡或BOD—污泥負(fù)荷是等價(jià)的。
完全混合式曝氣池中的底物濃度就是出水底物濃度，其濃度很低。因此其比底物去除速度和比微生物增長(zhǎng)速度可分別用式(3)和式(4)表示。
　　q=KS(3)
　　u=Yq-K d (4)
　　式中:
　　q——比底物去除速度；
　　K——比底物去除速度常數(shù)；
　　u——比微生物增長(zhǎng)速度；
　　Y——產(chǎn)率系數(shù)；
　　K d ——微生物的內(nèi)源呼吸速率常數(shù)。
　　由于進(jìn)水水質(zhì)水量的變化，必然引起處理系統(tǒng)中狀態(tài)變量和輸出變量隨時(shí)間的不斷變化。因此，以時(shí)間為自變量，通過對(duì)圖1所示的處理系統(tǒng)的微生物量和底物量的物料平衡，根據(jù)式(3)和式(4)建立狀態(tài)方程，如式(5)和式(6)所示，這也是處理系統(tǒng)的基本微分方程式，建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程是解最優(yōu)控制問題的必要條件。

如果處理系統(tǒng)在較高的負(fù)荷下運(yùn)行，表示比底物去除速度的公式(3)已經(jīng)不能滿足精確度的要求，這時(shí)應(yīng)該采用式(7)。

由式(2)可見，回流污泥量Q r 是回流污泥濃度X r 、進(jìn)水流量Q和微生物濃度X的函數(shù)。
　　回流污泥所需費(fèi)用=(回流單位污泥量所需電費(fèi)B)×(回流的污泥量)

　　供氧所需要的費(fèi)用，取決于溶解單位氧氣的費(fèi)用和曝氣池中氧的消耗速度。氧的消耗速度R r 如式(11)所示:
　　R r =αQ(S 0 -S)十bVX =VX(αKS+1.42K d (11)
　　式中:
　　α——作為能量被去除的底物占總?cè)コ孜锏谋壤?，因此有?1十Y；
　　b——微生物內(nèi)源呼吸時(shí)的氧的利用速度，一般有b=1.42K d 。所以，
　　供氧所需費(fèi)用=(溶解單位氧量所需費(fèi)用C)×(耗氧量)

　　C的數(shù)值取決于供氧機(jī)械的效率和曝氣擴(kuò)散設(shè)備的效率。
　　排放出水中的污染物所需費(fèi)用=(排放單位污染物所交付的費(fèi)用或罰款w)×(排放的底物或污染物的量)

　　綜合各式:

　　如果T 0 =0，T=1日，式(14)就表示處理系統(tǒng)每日所要支付的總費(fèi)用。
　　為了求解出式(14)這個(gè)目標(biāo)函數(shù)為最小的最優(yōu)控制變量Q w (t)，首先必須引入拉格朗日未定向量函數(shù)(稱伴隨變量)λ 1 (t)，和λ 2 (t)，以及哈密爾頓函數(shù)H(X，S，Q w ，λ 1 ，λ 2 ，t)，如式(15)、式(16)和式(17)所示。滿足H函數(shù)為最小值的最優(yōu)控制，同時(shí)也使目標(biāo)函數(shù)J取得最小值。

　　式中:f 1 和f 2 ——分別表示狀態(tài)方程式(5)和式(6)的右邊項(xiàng)。
　　根據(jù)控制論中龐特里亞金的最大值原理，以X，S，λ 1 ，λ 2 和Q w 為未知函數(shù)，由狀態(tài)方程和式(15)~式(17)可組成最優(yōu)控制數(shù)字模型的聯(lián)立方程組，如式　　(18)~式(22)所示，這個(gè)聯(lián)立方程的解之一 就是所要求的最優(yōu)控制函數(shù)的解。狀態(tài)變量的解X(t)和S(t)稱為最優(yōu)軌跡，是指最優(yōu)控制下的狀態(tài)變量。

　　在聯(lián)立方程式中共有五個(gè)方程(四個(gè)微分方程和一個(gè)代數(shù)方程)，求五個(gè)未知函數(shù)Q w ，X，S，λ 1 ，λ 2 ，因此方程組有解。對(duì)于實(shí)際的污水處理系統(tǒng)來說，Q w (t)必須大于或等于零，Q w (t)≥0，也就是說在運(yùn)行中只能從曝氣池向外排放污泥，而不能往曝氣池中投加活性污泥，所以式(22)必須寫成如下的形式

　　這樣，問題就轉(zhuǎn)變成求控制變量在大于等于零[Q w (t)≥0]的范圍內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)的最小值和最優(yōu)控制變量Q w (t)。這樣的最優(yōu)控制問題不能簡(jiǎn)單地用變分法來求解，而只能用龐特里亞金的最大值原理來解決。

二、有約束條件最優(yōu)控制的數(shù)學(xué)模型

　　如果用平均出水質(zhì)量達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)，來約束處理系統(tǒng)的出水質(zhì)量，同時(shí)約束處理系統(tǒng)每一個(gè)周期前后的狀態(tài)變量基本相同，那么，本文所研究的最優(yōu)控制，就變成了在滿足某一出水質(zhì)量和末端約束條件的基礎(chǔ)上，求出使運(yùn)行費(fèi)用這一目標(biāo)函數(shù)為最小的最優(yōu)控制問題。
以處理系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用J作為目標(biāo)函數(shù)，在非穩(wěn)定狀態(tài)下的某一期間(從T 0 到T)，用泛函數(shù)表示，如式(23)所示。

　　式中:J 1 ——污泥處置費(fèi)；
　　J 2 ——回流污泥費(fèi)用；
　　J 3 ——曝氣費(fèi)；
　　A——單位污泥量處置費(fèi)(分/kg·污泥)；
　　B——回流單位污泥量所需電費(fèi)(分/m 3 )；
　　C——溶解單位氧量所需電費(fèi)(分/kg·O 2 )；
　　α——作為能量被去除的底物，占總?cè)コ孜锏谋壤?，因此有?1-Y；
　　b——微生物內(nèi)源呼吸時(shí)氧的利用速度，
　　一般有b=1.42K d ·d 1 。如果T 0 =0，T=1日，式(23)就表示處理系統(tǒng)每日的運(yùn)行費(fèi)用。
　　使每日平均出水底物濃度 小于或等于排放標(biāo)準(zhǔn)S st ，應(yīng)滿足式(24):

　　若處理系統(tǒng)的末端狀態(tài)受到下列m個(gè)條件的約束

　　式中:T——末端的時(shí)刻，若以一日為周期，則T=1。
　　若在目標(biāo)函數(shù)中加入另一形式的補(bǔ)償函數(shù)，通過使新的目標(biāo)函數(shù)〔如式(26)所示〕，為最小這個(gè)手段，來滿足式(25)的約束條件，

　　式中:G j ——相當(dāng)大的正數(shù)，其值根據(jù)約束條件的精確度來確定。
　　從式(26)可見，當(dāng)式(25)的約束條件都被滿足的話，有h(g j )=0，式(26)的目標(biāo)函數(shù)就變?yōu)閱渭兲幚硐到y(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用；而當(dāng)不滿足約束條件式(25)時(shí)，有h(g j )=G j ，使式(26)的目標(biāo)函數(shù)值增大，只有使該值趨近于最小值時(shí)，才能得到最優(yōu)控制的解。那么，預(yù)先設(shè)定的G j 的值越大，式(25)的約束條件就越能得到滿足，在　　一定的誤差范圍內(nèi)就可以得到滿足式(25)中；所有的約束條件的最優(yōu)控制函數(shù)。
　　為滿足式(24)中平均出水底物濃度，低于排放標(biāo)準(zhǔn)這個(gè)約束條件，由狀態(tài)變量Z(t)得:

令Z(T 0 )=0，得積分式:

　　這樣，式(24)中的積分型的約束條件，就可以變成末端狀態(tài)型的約束條件

　　式中:Q t ——每日進(jìn)水總流量。
　　可見，新的狀態(tài)變量Z(t)的物理意義是在某一期間T 0 ~t內(nèi)，處理系統(tǒng)所排放的底物數(shù)量。那么Z(T)就是每日(一周期)排放的底物總量。根據(jù)最優(yōu)控制理論，由于增加了一個(gè)新的狀態(tài)變量Z(t)，狀態(tài)方程和拉格朗日未定系數(shù)方程各增加一個(gè)。哈密爾頓函數(shù)如式(27):

　　根據(jù)龐特里亞金的最大值原理，式(18)(19)是狀態(tài)方程，其初始條件為已知，因?yàn)橐匀諡橐粋€(gè)控制周期，有T 0 -0狀態(tài)變量的初始值，如下式所示:
　　X(T 0 )=X(0)
　　S(T 0 )=S(0)
　　Z(T 0 )=Z(0)=0
　　根據(jù)最優(yōu)控制理論，它的初始條件未知，但末值條件由下式給出:
　　λ 1 (T)=-2G 1 [X(T 0 )-X(T)]
　　λ 2 (T)=-2G 2 [(ST 0 )-S(T)]
　　λ 3 (T)=-2G 3 [Q t ·S st -Z(T)]
　　由此可見式(18)—(22)聯(lián)立方程組中，共有七個(gè)方程式和七個(gè)未知函數(shù)(X，S，Z，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 和Q w )，其中有六個(gè)微分方程式并已知六個(gè)邊界條件，聯(lián)立方程可解。
　　為了舉例說明最優(yōu)控制在污水處理系統(tǒng)中的應(yīng)用，求出方程式的解，首先假定動(dòng)力學(xué)常數(shù)和其它系數(shù)的值，如表1所示。每日進(jìn)水流量和進(jìn)水底物濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律如式(28)和式(29)所示，假定回流污泥濃度X r 的變化如式(30)所示。
　　動(dòng)力學(xué)常數(shù)及其它系數(shù)的假定值 表1

　　將式(28)~(30)和表1中的常數(shù)代入聯(lián)立方程式(18)~(22)，然后根據(jù)處理系統(tǒng)已知的初始條件，就可以求出數(shù)值解。因?yàn)槲勰嗵幹玫馁M(fèi)用與處理方式、污泥成分以及處理程度等很多因素有關(guān)，其處理所需要的費(fèi)用相差很大，在表1中將單位污泥處置費(fèi)A的取值，確定在5~25分/kg污泥之間。另外，在表1中將排放單位污染物BOD所需要的費(fèi)用w的取值范圍確定在20~80分/kgBOD之間。首先令A(yù)=5，w=80 代入聯(lián)立方程后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值解析。得到的最優(yōu)控制函數(shù)Q w (t)、狀態(tài)變量的最優(yōu)軌跡X(t)和S(t)隨時(shí)間變化的情況，然后用計(jì)算機(jī)直接作圖如圖2(α)所示，處理系統(tǒng)所需要的總費(fèi)用J和相對(duì)應(yīng)的平均出水底物濃度 隨著數(shù)值計(jì)算次數(shù)N的增加向最優(yōu)值逼進(jìn)的情況如圖2(b)所示。最后得到了最小的總費(fèi)用Jmin=392.67(10 3 分/d=3926.7(元/d)。總費(fèi)用為最小的情況下平均出水底物濃度(以下稱最優(yōu)平均出水底物濃度) =15.22mg/L。這就是說，平均出水底物濃度 高于或低于15.22mg/L其總費(fèi)用J都將超過3926.7元/d。因?yàn)楫?dāng) >15.22mg/L，雖然能節(jié)省總費(fèi)用中的運(yùn)行費(fèi)(J 1 ，J 2 ，J 3 )，但排放污染物所支付的費(fèi)用J 4 卻升高了；反之，當(dāng) >15.22mg/L時(shí)，J 4 的值雖然降低了，但運(yùn)行費(fèi)用肯定要增加。圖2(α)所示的最優(yōu)控制函數(shù)Q w (t)的變化形態(tài)近似于控制論中的開關(guān)控制(bang-bang控制)。

　　然后令w=50，w=35，w=20(分/kgBOD)其它條件不變，來分別求解聯(lián)立方程，得到的最優(yōu)控制Q w (t)，最優(yōu)軌跡X(t)和S(t)，最小總費(fèi)用J mi 以及最優(yōu)平均出水底物濃度 ，如圖3所示。帶有約束條件的計(jì)算結(jié)果如圖2(c)。圖4表示出水排放標(biāo)準(zhǔn)為25mg/L時(shí)，相應(yīng)的最優(yōu)控制計(jì)算結(jié)果。可以看到，排放標(biāo)準(zhǔn)的約束條件以及使末端狀態(tài)變量和初期狀態(tài)變量相同的約束條件，都基本能得到滿足。因?yàn)樗跐M足一些約束條件的基礎(chǔ)上，使人們最關(guān)心的目標(biāo)函數(shù)為最優(yōu)。幾乎所有的城市污水和工業(yè)廢水的流量、濃度，都是隨時(shí)間不斷變化的，有時(shí)其變化速度和幅度很大，這給處理系統(tǒng)的運(yùn)行管理帶來很多麻煩。如果能采用最優(yōu)控制，不僅能定量地控制出水質(zhì)量，還能盡量減小運(yùn)行費(fèi)用。
　　本文認(rèn)為，雖然最優(yōu)控制的實(shí)施有待于活性污泥法動(dòng)力學(xué)模型的完善和處理系統(tǒng)計(jì)算機(jī)自動(dòng)控制的進(jìn)一步開發(fā)。但是在設(shè)計(jì)污水處理廠時(shí)，以污水廠的建設(shè)費(fèi)為目標(biāo)函數(shù)的、靜的最優(yōu)化和以運(yùn)行費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)的、動(dòng)態(tài)的最優(yōu)控制相結(jié)合，來進(jìn)行研究，將會(huì)使這方面的研究更加完善，這應(yīng)該是今后的研究課題。

主要參考文獻(xiàn)

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