劉　燦　生

　　接觸氧化法過濾除鐵，含鐵濃度沿濾層深度逐漸下降。但其分布規(guī)律的一個重要特征是隨著過濾時間的增加，濾層的除鐵效能逐漸提高，含鐵濃度沿濾層分布曲線相櫻煜移。這種含鐵濃度分布曲線上移的現(xiàn)象，在接觸氧化法除鐵中是最一般的現(xiàn)象，它表明接觸氧化法除鐵反應(yīng)過程是加速反應(yīng)或自動催化反應(yīng)過程。含鐵濃度沿濾層分布的第二個特征，是濾層不同深度處的含鐵濃度對原水含鐵濃度的比值，比濾層厚度在單對數(shù)標(biāo)痤系上呈直線關(guān)系，這種關(guān)系經(jīng)實驗驗證，也是接觸氧化法除鐵中普遍存在的。濾料粒徑、濾速以及經(jīng)歷不同的過濾時間，雖然沿濾層分布的含鐵濃度曲線發(fā)生變化，但仍然遵守上述的“直線律”。含鐵濃度分布曲線的“上移律”和“直線律”在接觸氧化法除鐵的所有生產(chǎn)和模型實驗中都可以看到，是接觸氧化法過濾除鐵濾層含鐵濃度分布的主要規(guī)律。
　　為了描述在接觸氧化法除鐵過程中，亞鐵離子在濾層中的去除規(guī)律，筆者依據(jù)含鐵濃度沿濾層深度分布規(guī)律的兩個特征（上移律，直線律）為基礎(chǔ)，從接觸氧化法過濾除鐵的過程出發(fā)，建立了接觸氧化法除鐵的數(shù)學(xué)模型。

　　一、接觸氧化法過濾除鐵基本數(shù)學(xué)模型的建立

　　為了建立描述亞鐵離子在濾層中去除規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，特作如下假設(shè)：
　　1、濾料本體具有吸附水中亞鐵離子的能力；濾料本體的作用只發(fā)生在新濾料運行初期；它作用的結(jié)果與催化作用無關(guān)。
　　2、濾料表面所復(fù)蓋的鐵質(zhì)濾膜對水中亞鐵離子的氧化有強烈的催化作用，截面在濾層中的鐵質(zhì)氫氧化物仍然是催化物質(zhì)；成熟濾料表面完全被活性濾膜復(fù)蓋時，其濾料本體作用不再發(fā)生。
　　3、成熟濾層的除鐵率由亞鐵離子向濾膜表面的擴散速率所控制，被吸附在濾膜表面上亞鐵離子的氧化水解速度非?？?，認為瞬間完成。
　　4、濾前水中鐵質(zhì)均為亞鐵離子形態(tài)；水中含有充足的溶解氧；濾料粒徑均勻且為球形。
　　關(guān)于基本假設(shè)一、二、三的結(jié)論內(nèi)容，是筆者在曝氣接觸氧化法除鐵實驗研究中得出來的。它的實驗驗證及研究過程，擬另文論述，此處僅作為基本假設(shè)條件給出。

　　滿足上述四條基本假設(shè)條件的濾層，被間距為d1的兩個平行截面所截（如圖1）。若令濾層的橫截面積為單位面積，則截面間的微元濾層的體積在數(shù)值上等于微元長度d1，即
　　dv=dL
　　再令進入分離微元濾層的亞鐵離子濃度為c，濾速為v，則流出微元濾層的亞鐵離子濃度為()。若令過濾時間為dt，那么，根據(jù)質(zhì)量連續(xù)關(guān)系，在dt時間內(nèi)流入微元濾層的亞鐵離子的數(shù)量，等于在這段時間內(nèi)流出微元濾層的亞鐵離子與微元濾層中截留的亞鐵離子以及在微元濾層的空隙中所含的亞鐵離子數(shù)量和總和，即

　　

　　濾料層中所截留的鐵質(zhì)ω包括了濾料本體吸附的亞鐵離子和活性濾膜去除亞鐵離子數(shù)量之和：
　　ω=ω1+ω2　　　　　　(2)
　　式中　ω1——由于濾料本體吸附亞鐵離子，使得單位濾料表面所截留的鐵質(zhì)數(shù)量；
　　　　　ω2——由于活性濾膜的作用，使得單位濾面所截留的鐵質(zhì)數(shù)量。

　　將式(2)代入式(1)中，并整理得

　　

　　在正常過濾中，濾層空隙里的水所含的亞鐵離子數(shù)量對整個濾層的除鐵影響很小，因此，式(5)中右端第三項可忽略不計，于是得到

　　

　　式(4)表示經(jīng)過dl濾層的濾后水中亞鐵離子濃度減少的速率等于截留在dl濾層中鐵質(zhì)增加速率。
　　根據(jù)基本假設(shè)1，濾料本體去除亞鐵離子吸附規(guī)律，它的去除速率可用吸附傳質(zhì)速率來表示[4]

　　
　　式中　K_G——吸附傳質(zhì)系數(shù)；
　　　　　c*——與單位體積濾料表面吸附平衡時的亞鐵離子平衡濃度。
　　　　　c——實際的亞鐵離子濃度。

　　根據(jù)基本假設(shè)2、3可知，成熟濾層去除亞鐵離子的過程由擴散過程所決定，因此，亞鐵離子在成熟濾層中的去除速率可用擴散速率表示，而且，濾層的除鐵速率隨著濾層中截留的鐵質(zhì)增加而加快，于得得到

　　
　　式中　D——界面層內(nèi)亞鐵離子向活性濾膜表面的擴散系數(shù)；
　　　　　δ——擴散界面層厚度；
　　　　　S——活性濾膜的比表面積；
　　　　　ω——濾層中截留的鐵質(zhì)數(shù)量；
　　　　　a——比例參數(shù)。

　　將式(6)、(5)代入方程式(4)得

　　

　　式(7)是接觸氧化法過濾除鐵的基本微分方程。

　　二、基本微分方程式的求定解

　　在實際的接觸氧化法過濾除鐵中，濾料本體對亞鐵離子的吸附作用是短時間的，而成熟濾料穩(wěn)定除鐵的接觸氧化作用是經(jīng)常的，是除鐵的主要工作狀態(tài)。因此，本文只討論成熟濾層的除鐵情況。
　　成熟濾層由于濾料表面已為濾膜物質(zhì)所包圍，濾料本體吸附亞鐵離子的過程不再進行，即K_G =0，因此，式(9)可化成

　　

　　將式(8)對時間t求偏導(dǎo)數(shù)，得

　　

　　經(jīng)過接觸濾層水中含鐵量減少的速率等于濾層內(nèi)鐵質(zhì)增加的速率：

　　

　　將式(10)代入式(9)得

　　

　　方程式(11)描述了在成熟濾層中亞鐵離子去除的動力學(xué)過程。
　　當(dāng)開始過濾時(t=0)，濾層中未截留鐵質(zhì)(ω=0)，式(11)可簡化、積分為

　　C|_t=0 = C0e^-lDS/σu　　　　　　　　　　　　　(12)

　　邊界條件很明顯，未進入濾層水的含鐵濃度始終為c，即

　　C|_l=0 = C　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

　　于是，方程式(11)連同第一類邊界條件的求定解問題轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)問題：

　　

　　式(14)為常數(shù)雙曲線型方程。
　　作變換

　　C=θe^λ+ξl　　　　　　　　　　　　　　　　(15)

　　其中λ和ξ是待定常數(shù)。
　　將式(15)代入式(11)中整理得

　　

　　現(xiàn)令

　　λ-a=0，則λ=a
　　ξ+ DS/σu=0，則ξ=- DS/σu

　　故在變換

　　C=θe^at-DS/σu·l　　　　　　　　　　　　　　(17)

　　之下，方程式(16)可簡化為

　　

　　注意到DS/σu·a=const，則式(18)為常系數(shù)偏微分程。
　　令θ=θ(Z)，Z=[(t-t₀)(l-l₀)]^0.5：且代入方程式(18)中，則式(21)代為Bessel方程：

　　

　　當(dāng)以初始過濾(to=0)，以表面濾層為基準(zhǔn)(lo=0)為最初條件，則有

　　θ(l,t) = C₀J₀[4(DS/σv)alt]　　　　　(20)

　　第一類零階Bessel函數(shù)的展開式為[6]

　　

　　于是

　　

　　將式(22)代入式(17)得

　　

　　代入起始及邊界條件(12)、(13)則可得

　　

　　式(24)是接觸氧化法過濾除鐵的方程式。
　　方程式(24)當(dāng)不考慮時間因素，則t=0時有
　　C=C₀e^-DS/σv·l　　　　　　　　　　　　　　　　(25)
　　亦可寫成
　　l_n=C₀/C=DS/σv·l　　　　　　　　　　　　　　　(26)
　　式(26)與天然錳砂過濾除鐵方程式[1]具有相同的型式，說明公式[1]是本文導(dǎo)出的接觸氧化法過濾除鐵方程式的特例。

　　三、接觸氧化法過濾除鐵方程的驗證

　　為了求解方程式(24)，要預(yù)先求得系數(shù)D/σ和參數(shù)a。
　　接觸氧化法過濾除鐵要受到原水水質(zhì)的影響，例如水中的H2SHSiO3-等也能被吸附在活性濾膜表面上，要占據(jù)活性濾膜表面的位置，相當(dāng)于減少濾膜的表面積So，影響過濾除鐵的效果。我們?yōu)榱撕喕嬎?，固定So不變，而由系數(shù)D/σ來補償。因此，系數(shù)D/σ因原水水質(zhì)不同而有差異，需要由現(xiàn)場實驗來確定。
　　用一清潔的成熟濾層，使之處于層流狀態(tài)，進行實驗，可以分別測得原水含鐵濃度Co、出水含濃度C、濾粒當(dāng)量粒徑dcq、濾速v和濾層厚度l，它們遵循下列關(guān)系：
　　ln（C_０/C）=D/σ·S_０/v·l
　　式中　　So=6(1-mo)Ψ/dcq
　　因此，實驗點在C_０/C和S_０/v·l的半對數(shù)座標(biāo)系中為一條直線，直線的斜率即為D/σ值。
　　圖2為在佳木斯水質(zhì)情況下測得的結(jié)果，當(dāng)諸項因次分別采用：

　　直徑d[cm]、濾速u[m/hr]、含鐵濃度C[mg/l]、濾層厚度[cm]時，可求出D/σ=1.12
　　a參數(shù)的物理意義可由下面推演給出，從方程式(6)

　　

　　可以得到，濾層中所增加的除鐵速率與濾層截留的鐵質(zhì)數(shù)量有增函數(shù)關(guān)系：

　　
　　式中　Δu——由于濾層累積鐵質(zhì)的催化作用，保持出水含鐵濃度不變時所能提高的濾速。

　　積分式(27)得：

　　a=[Δv(Co-C)/l]／ω　　　　　　　　　(28)
　　亦可表達為
　　a=由濾層中截留鐵質(zhì)的作用所增加的去除鐵量的速率／濾層中截留的鐵量
　　所以參數(shù)a的物理意義是表示濾層中沉積鐵質(zhì)的除鐵能力。參數(shù)a可由式(31)通過實驗得出。一般，a=0.03～0.05。
　　我們采用含鐵濃度14～20mg/l的地下水，按接觸氧化法除鐵處理，在不同條件下的理論計算值和實驗值綜合于表2中，可以看到計算值與實驗值吻合得較好。
　　過濾除鐵方程式表示為無究級數(shù)，計算很困難，表1中的理論計算值是用電子計算機計算的。為了便于手工計算，可以把其級數(shù)表示法復(fù)元為Bessel函數(shù)表示法：

　　

　　Bessel函數(shù)中的變量在正常情況下可以求得，且零階Bessel函數(shù)存在如圖3的關(guān)系。若令

　　4·DS/σU·l·al=X

　　計算出x后，由圖3中查得x所對應(yīng)的零階Bessel函數(shù)值Jo(x)，代入式(29)中，從而得到濾后水中的含鐵濃度。

表1 濾料直徑(mm) 濾層厚度
(m) 濾速(m/h) 時間(h) Co(mg/l) C理論(mg/l) C實驗(mg/l)

2.0～2.5

　0.70

　　10 　　10 　17.4 　2.09 　2.40 　　36 　17.4 　0.76 　0.6 30 　　8 　19.1 　10.1 　10.8 　　20 　19.1 　10.3 　9.6

　0.30 　　20 　　10 　16.3 　13.6 　11.0 　　50　 　　10 　18.9 　14.5 　15.4

1.6～2.0

　0.70 　　25 　　15 　18.7 　7.98 　6.2 　　10 　　30 　17.8 　1.52 　0.7 1.0～1.25 0.77 10 20 21.4 0.45 0.1 40 6 14.3 4.06 3.8

　　以上，本文完成了曝氣——接觸氧化法過濾除鐵的動力學(xué)基本微分議程的建立以及除鐵濾層中含鐵濃度分布規(guī)律數(shù)學(xué)模式的探求并且用實驗對本文求出的數(shù)學(xué)模式進行了驗證。

參考文獻

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　　[6]樊映川，《高等數(shù)學(xué)講義（下冊）》，人民教育出版社，1964。