趙新華¹，陳春芳¹,鄭毅²?
(1．天津大學(xué) 環(huán)境工程系，天津 300072；2.天津市自來水集團(tuán)公司，天津 300040)

　　摘要： 介紹了給水管網(wǎng)可靠度計(jì)算的兩種方法，重點(diǎn)介紹了最小割集法。首次提出了給水管網(wǎng)計(jì)算中管件可用度和平均可用度的概念，并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。通過管網(wǎng)故障狀態(tài)下水力模擬仿真模塊，計(jì)算節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的最小割集，利用可用度計(jì)算模塊，計(jì)算出組件的可用度和不可用度，進(jìn)而求得節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的可靠度。?
　　關(guān)鍵詞： 給水管網(wǎng)；最小割集；可靠度；可用度?
　　中圖分類號(hào)： TU991.33
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： C
　　文章編號(hào)： 1000-4602(2000)01-0057-04

　　給水系統(tǒng)的可靠性是指在一定時(shí)間內(nèi)，在一定的運(yùn)行條件下給水系統(tǒng)完成預(yù)定功能的性質(zhì)。給水系統(tǒng)的功能是保證用水對(duì)象獲得所需的水量、水壓和水質(zhì)。如果用水過程中發(fā)生惡化, 使這三個(gè)指標(biāo)中任意一個(gè)下降到允許的限度以下，就說系統(tǒng)發(fā)生了故障(本文研究的是水 壓 和水量惡化引起故障的情況)。按照系統(tǒng)發(fā)生故障的原因，可以將可靠性分成兩大類：機(jī)械可靠性(Mechanic Reliability)和水力可靠性(Hydraulic Reliability)。前者主要是由于管件發(fā)生損壞或被隔斷引起的供水能力的下降，通常通過維修或更新來處理；而后者主要是由于長(zhǎng)期使用，管件內(nèi)部摩阻增大，造成水頭損失增大而引起,通常可采取水泵調(diào)節(jié)或 刮管涂襯來處理。本文主要研究基于機(jī)械可靠性的給水管網(wǎng)可靠度的計(jì)算。

1 可用度模型及可靠度算法

　　對(duì)所研究的對(duì)象有四點(diǎn)假設(shè)：
　　① 部件和系統(tǒng)都只有正常和失效兩種狀態(tài)；
　　② 系統(tǒng)的狀態(tài)完全由系統(tǒng)的可靠性框圖和部件的狀態(tài)決定；
　　③ 部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率,即故障率λ和修復(fù)率μ均為常數(shù)；
　?、?組件或系統(tǒng)的故障和修復(fù)都是相互獨(dú)立的。
　　設(shè)系統(tǒng)S由n個(gè)部件組成，用二值變量X_i來表示第i個(gè)部件的狀態(tài)
　　
　　系統(tǒng)的狀態(tài)可以用下述函數(shù)ø(X)=ø(x₁,x₂,…,x_n)來表示，其中X是n維向量øX=(x₁,x₂,…,x_n)，ø(X)是n維向量的二值函數(shù)，即n元二值函數(shù)，有
　　
　　把這種n維二值變量的二值函數(shù)稱為n維結(jié)構(gòu)函數(shù)。?
　　計(jì)算給水管網(wǎng)可靠度可以采用以下兩種方法。
? ① 不交最小路算法
　　a. 對(duì)于簡(jiǎn)單小型管網(wǎng)，可以采用鄰接矩陣法求出所有最小路。?
　　b. 對(duì)于大型復(fù)雜管網(wǎng)，節(jié)點(diǎn)數(shù)很大，鄰接矩陣往往是稀疏矩陣，因此用鄰接矩陣法求最小路要大容量去存貯，可以采用計(jì)算機(jī)算法求最小路。
　　若已知全部最小路集，由初等概率論知
　　
　　但是，當(dāng)m大時(shí)，每個(gè)P{S?i}就得由Cmⁱ項(xiàng)概率的和來求得，因此由式(1)求數(shù)值結(jié)果時(shí)共2^m-1項(xiàng)求和(或差)，總的運(yùn)算量就非常大。因此就要對(duì)最小路進(jìn)行不交化，不交化后可利用相斥事件求和公式：
　　
　　得可靠度：
　　
　?、?對(duì)于多水源管網(wǎng)，應(yīng)用枚舉法求系統(tǒng)及節(jié)點(diǎn)的最小割集較為方便。
　　本文采用最小割集法(Minimum Cut Set)求節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的可靠度。
　　按圖論的理論，所謂割集，就是系統(tǒng)部件的狀態(tài)變量集合(x₁,x₂,…,x_n)中滿 足下列條件的子集：設(shè)該子集為{x_j1,…,x_ja},j=1,…,m，{ x_j1,…,x_ja}∈{ x₁,x₂,…,x_n}， 當(dāng)x_j1=…=x_ja=0時(shí) ,Ø(x)=0，即該子集所對(duì)應(yīng)的全體部件故障時(shí)，系統(tǒng)s必定故障。 其中m為割集數(shù)，為結(jié)構(gòu)函數(shù)。那些去掉一個(gè)部件即不構(gòu)成割集的割集稱為最小割集。
　　城市供水管網(wǎng)實(shí)際運(yùn)作是個(gè)動(dòng)態(tài)過程，用管網(wǎng)圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)生成最小割集進(jìn)而計(jì)算節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的可靠度，并不能很好地反映供水管網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的實(shí)時(shí)變化。因此，我們可以采用管網(wǎng)故障狀態(tài)水力模擬的方法確定實(shí)際狀態(tài)下的最小割集。
　　在實(shí)際管網(wǎng)中，當(dāng)管段發(fā)生故障，可以采用關(guān)閘方式關(guān)閉有關(guān)管段進(jìn)行維修，這時(shí)認(rèn)為管段被從管網(wǎng)中除去, 就可以用水力計(jì)算方法進(jìn)行管段(管段組合)故障狀態(tài)下的狀態(tài)模擬。如 果節(jié)點(diǎn)水壓高程(水量)值小于所要求的節(jié)點(diǎn)水壓高程(水量)的最低值, 則認(rèn)為節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障，該管段(管段組合)就是這個(gè)節(jié)點(diǎn)的一個(gè)最小割集，同時(shí)也是系統(tǒng)的一個(gè)最小割集。對(duì)管網(wǎng)中每根管段及管段的組合進(jìn)行上述模擬，就可以求出節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的全部最小割集。對(duì)于一般城市管網(wǎng)，枚舉各種管段組合的數(shù)量是相當(dāng)大的，又因?yàn)閮蓚€(gè)以上管段同時(shí)發(fā)生故障的概率很小，所以可以首先只對(duì)單個(gè)管段進(jìn)行故障狀態(tài)下的模擬，然后對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行單個(gè)管段和兩管段同時(shí)發(fā)生故障的可靠度的計(jì)算。如果結(jié)果不甚令人滿意，可重新考慮對(duì)單 個(gè)管段和兩個(gè)管段同時(shí)故障時(shí)的模擬。
　　在以往的文獻(xiàn)中，一般都是以可靠度這個(gè)指標(biāo)來表示給水管網(wǎng)的可靠性。它沒有反映出管段、節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的各自特點(diǎn)以及它們之間的相互關(guān)系。
　　根據(jù)定義，部件壽命分布函數(shù)為
? F(t)=P{X≤t},t≥0? (5)
　　記 R(t)=P{X>t}=1-F(t) (6)
　　一般R(t)稱為該部件的可靠度函數(shù)或可靠度。
　　由定義可知，可靠度表示了部件壽命這個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于初始狀態(tài)部件為完好的情形，F(xiàn)(t) 是部 件首次出現(xiàn)故障前的時(shí)間分布，R(t)為從某個(gè)初始狀態(tài)出發(fā)，在時(shí)刻t仍處于正常狀態(tài)的概率，這里t是指壽命時(shí)間。而給水管網(wǎng)屬于可修復(fù)系統(tǒng)，對(duì)于可修復(fù)系統(tǒng)，系統(tǒng)可由正常和故障兩個(gè)狀態(tài)不斷交替的過程來描述。一般來說，給水系統(tǒng)組件的故障和修復(fù)率都服從指數(shù)分布。由指數(shù)分布的無記憶性可知，初始時(shí)刻t以后系統(tǒng)發(fā)展的概率規(guī)律完全由時(shí)刻t是正常還是故障所決定，而與該系統(tǒng)在時(shí)刻t已經(jīng)工作了多長(zhǎng)時(shí)間或已修理了多長(zhǎng)時(shí)間無關(guān)。因此，組件在任意時(shí)刻正常工作的概率應(yīng)該用可用度A(t)來表示?？捎枚鹊亩x為：組件在規(guī)定的條件下，在任意時(shí)刻上正常工作的概率。它的數(shù)學(xué)式表示為：
　　
　　式中 λ-- 故障強(qiáng)度，也叫失效率，表示單位時(shí)間單位長(zhǎng)度管線發(fā)生故障的次數(shù)，a^-1·km^-1 μ-- 修復(fù)強(qiáng)度，也叫維修率，表示單位時(shí)間管段維修的次數(shù)，h^-1這里研究初始時(shí)刻部件處于完好狀態(tài)的情形，同理也可以求得該時(shí)刻部件處于故障狀態(tài)的情形?？紤]［0,T］時(shí)間段內(nèi)組件的平均可用度，即為求A(t)的數(shù)學(xué)期望E［A(t)］。由函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式得：
　　
　　相對(duì)于可用度A(t)是不可用度Q(t)，定義為：組件在規(guī)定的工作條件下使用時(shí)，在任意時(shí)刻上處于故障狀態(tài)的概率。
　　 Q(t) =1-A(t)? (12)
　　研究節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的可靠性，引入可靠度這一概念。節(jié)點(diǎn)可靠度的定義為：在某一時(shí)間段內(nèi)，節(jié)點(diǎn)的水壓高程大于節(jié)點(diǎn)所要求的最小水壓高程的概率。系統(tǒng)可靠度的定義為：在某一時(shí)間段內(nèi)，所有節(jié)點(diǎn)都可靠的概率。
　　設(shè)某節(jié)點(diǎn)j或系統(tǒng)s的一個(gè)最小割集MCi中包含n條管段, 則該最小割集的故障概率為：
　　
　　設(shè)某一節(jié)點(diǎn)j或系統(tǒng)s有m個(gè)最小割集，則該節(jié)點(diǎn)或系統(tǒng)的故障概率為：
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(16)
　　則該節(jié)點(diǎn)或系統(tǒng)正常工作的概率為：
　　R_j=1-P_j 　　(17)
　　R_s=1-P_s ? 　(18)
　　本文提出的算法可以用流程圖(圖1)來表示。

　　其基本步驟是：
　　① 搜集原始數(shù)據(jù)，獲得管網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖，平差基本數(shù)據(jù)，組件故障率、修復(fù)率資料及節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)可靠度指標(biāo)值。
　?、?用枚舉法進(jìn)行管網(wǎng)故障狀態(tài)水力模擬，求節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的最小割集。
　　③ 按式(11)、(12)計(jì)算組件可用度和不可用度。
　?、?按式(13)～(18)計(jì)算節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)的可靠度。?

2 算例

　　本文采用^［1］的管網(wǎng)(圖2)對(duì)以上提出的算法進(jìn)行了驗(yàn)算，并編制了相應(yīng)的程序。

　　對(duì)于一些原始數(shù)據(jù)，如管徑、管長(zhǎng)、節(jié)點(diǎn)流量、節(jié)點(diǎn)初始水壓、節(jié)點(diǎn)壓力水頭的約束均采用了該篇文章的數(shù)據(jù)，對(duì)于另外一些參數(shù)，如故障率、修復(fù)率則是通過查閱大量文獻(xiàn)資料并結(jié)合我國(guó)國(guó)情現(xiàn)狀確定的(見表1)。建議在實(shí)際應(yīng)用中，這些參數(shù)從歷史資料的統(tǒng)計(jì)分析中獲得。算例中研究的時(shí)間區(qū)間為2年，由于該管網(wǎng)規(guī)模較小，枚舉的運(yùn)算量不是很大，所以討論了一條或兩條管段故障的情況，在586PⅡ300機(jī)上占CPU時(shí)間約3min。計(jì)算結(jié)果見表1。
　　從表1可以看出：水源點(diǎn)附近的點(diǎn)比距離水源點(diǎn)較遠(yuǎn)的點(diǎn)的可靠性高；當(dāng)降低故障率或提高修復(fù)率時(shí)，節(jié)點(diǎn)或系統(tǒng)的可靠度都會(huì)提高。這一結(jié)果對(duì)運(yùn)行的管理和控制有一定的實(shí)際指導(dǎo)意義。

3 結(jié)論

　　綜上所述，討論給水管網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)及系統(tǒng)可靠度，首先應(yīng)在掌握歷史資料的基礎(chǔ)上，通過統(tǒng)計(jì)回歸的方法得到各管段的故障及維修參數(shù)λ和μ，求出各管段的可用度A(t)和不可用度 Q(t) ，然后調(diào)用水力模擬仿真模塊計(jì)算出各個(gè)節(jié)點(diǎn)在故障狀態(tài)下的水壓Hj，并與允許的水壓最低值H_jmin進(jìn)行比較，如果H_j＜H_jmin，則模擬的故障管段即為最小割集。在得到各節(jié)點(diǎn)及系統(tǒng)的最小割集后，運(yùn)用可靠度計(jì)算模塊計(jì)算節(jié)點(diǎn)及系統(tǒng)的可靠度。

表1 給管網(wǎng)可靠度計(jì)算數(shù)據(jù)及結(jié)果 管段號(hào)1 起始
節(jié)點(diǎn) 終止
節(jié)點(diǎn) 管徑
(m) 長(zhǎng)度
(m) 故障率
(a^-1.km^-1) 修復(fù)率
(h^-1) 節(jié)點(diǎn)
編號(hào) 節(jié)點(diǎn)流量
(L/s) 水壓高程約束
(m) 可靠度 1 20 1 0.50 450 0.0140 0.50 1 0 710 0.9898 2 1 2 0.43 70 0.0165 0.50 2 2 710 0.9778 3 1 3 0.33 545 0.0230 0.50 3 10 710 0.9759 4 2 4 0.23 463 0.0375 0.50 4 14 710 0.9759 5 2 5 0.43 160 0.0375 0.50 5 5 710 0.9657 6 3 6 0.33 263 0.0165 0.50 6 2 710 0.9632 7 5 4 0.15 435 0.0230 0.50 7 15 710 0.9530 8 7 8 0.10 1115 0.0490 0.50 8 8 710 0.9526 9 5 7 0.40 180 0.0510 0.50 9 2 710 0.9521 10 6 8 0.45 495 0.0175 0.50 10 4 710 0.9524 11 6 9 0.40 180 0.0175 0.50 11 8 710 0.9521 12 7 8 0.35 170 0.0210 0.50 12 10 710 0.9499 13 7 10 0.40 270 0.0175 0.50 13 2 710 0.9501 14 8 11 0.30 396 0.0250 0.50 14 2 710 0.9495 15 9 12 0.20 555 0.0445 0.50 15 8 710 0.9445 16 9 13 0.25 123 0.0285 0.50 16 9 710 0.9460 17 10 11 0.40 305 0.0175 0.50 17 12 710 0.9461 18 11 12 0.38 72 0.0190 0.50 18 11 710 0.9461 19 11 14 0.20 180 0.0445 0.50 19 7 710 0.9081 20 14 15 0.15 600 0.0490 0.50 20 -131 710 1.0000 21 16 15 0.20 130 0.0445 0.50 　 　 　 　 22 14 16 0.18 430 0.0460 0.50 　 　 　 　 23 12 17 0.40 225 0.0175 0.50 　 　 　 　 24 13 18 0.20 450 0.445 0.50 　 　 　 　 25 17 16 0.25 235 0.0285 0.50 　 　 　 　 26 17 18 0.20 352 0.0445 0.50 　 　 　 　 27 17 19 0.15 590 0.0490 0.50 　 　 　 　 28 18 19 0.10 645 0.0510 0.50 　 　 　 　

參考文獻(xiàn)：
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