景有海 金同軌 范瑾初
西安建筑科技大學 同濟大學

1、 均質濾料濾床的毛細管模型

　　由粒狀材料組成的均質濾料濾床，內部有無數(shù)孔隙通道。水流通過濾層的過濾過程，就是水流在濾床孔隙內的流動時，濾料表面對水中懸浮顆粒的吸附過程。在目前常規(guī)濾速范圍內，濾層孔隙內水流的流態(tài)為層流，其流線既不會交叉，也不會消失，當然也不會重生。由于濾料的阻擋，水流只能出現(xiàn)部分的分與合，而總的流動趨勢是垂直向下的。因此，可將這樣的濾床看成是有無數(shù)條毛細管道組成的管束網(wǎng)，過濾過程可看作是水流在這些毛細管道中流動時，毛細管壁對水中懸浮顆粒的吸附過程。為了使水流在毛細管道中的過濾條件與實際濾床中的過濾條件相同，毛細管必須滿足以下兩個條件：
　　（1）毛細管道的空間應與濾床的孔隙相同；
　?。?）毛細管道的總表面積應與濾池中濾料的總表面積相同。
　　因此，如下兩個方程應成立：

　　ε=n^.（π/4）d²m
　　f=n^.πd_m

　　式中：ε——濾床的孔隙率（m³/m³)；
　　　　　f——濾料的比表面積（m²/m³)；
　　　　　d_m——毛細管的管徑（m）；
　　　　　n——單位面積濾池所擁有的毛細管數(shù)量（根/m²）

　　級配濾料的比表面積可表示為：

　　f=6a(1-ε)/de

　　式中：a——濾料的表面形狀系數(shù)，指濾料的表面積與同體積球體面積的比值；
　　　　　de ——濾料的當量直徑（m);
　　　　　其他符號同前。
　　聯(lián)解（1）、（2）和（3）式可得：

　　dm=[2ε/3a(1-ε)]de

　　n=9a²(1-ε)²/(πεd²e)

　　(4)和（5）式即為筆者將均質濾料池抽象為毛細管模型時的毛細管管徑和單位面積濾池擁有的毛細管數(shù)量的計算公式?！?

　　2、過濾過程中的濁質去除計算模型

　　2.1懸浮物去除機理
　　研究證明，過濾是依靠濾料表面的吸附性來去除水中懸浮顆粒的。由于濾層中的水流處于層流狀態(tài)，因此不會有渦旋產生，流線不會出現(xiàn)交叉、新生或消失。處于濾料表面附近流線上的縣浮顆粒，當其與濾料表面極為接近時，會被濾料表面吸附截留，其顆粒物濃度隨之下降。此時，與處于中心附近流線上的懸浮顆料間出現(xiàn)濃度梯度。在存在嘗試梯度的條件下，由分子擴散作用以及由水流速度梯度所引起的水力擴散作用下，使得處于中心附近流線上的懸浮顆粒向濾料表面遷移，最后被濾料表面截留而去除。因此，懸浮顆粒物的濃度梯度是顆粒向濾料表面遷移的主要推動力。
　　懸浮顆粒運運到濾料表面附近后，會受到顆粒間的吸引力和電場斥力的共同作用。當顆粒間的吸引力大于電場斥力時，懸浮顆粒將被濾粒吸附截留而得以去除。
　　另一方面，由于水流速度梯度的存在，必將在固體邊界處產生剪切力，水流對吸附在濾料表面上的懸浮顆粒與濾料表面間的吸附力（粘著力）大于水流的剪切力時，懸浮顆粒才可繼續(xù)保留在濾料表面上，否則，將會被水流剪切力剝落下來，再次回到水中。剪切力的大小由濾層孔隙中水流速度梯度決定，而懸浮顆粒與濾料表面的粘著力以及懸浮顆粒與顆粒之間的粘著力則由懸浮顆粒的混凝特性決定。
　　對于濾池，可看作是由無數(shù)顆濾料組成的一個有限流場，每一顆濾料對水流中的懸浮顆粒都具有吸附截留作用，在每一顆濾料表面附近都存在邊界層。這樣，在濾料表面上，吸附與剝離作用將同時存在。隨著過濾過程的進行，濾池截留的懸浮物增多，濾料孔隙率減小，水流速度增大，阻力加大，剪切力也隨之加大，從而造成剝離速度加快，總的去除率減緩，并趨向于零。

　　濾床截留濁質后，其孔隙率減小，濾料對水中濁質的吸附面積也將相應減小，這可由圖1加以說明。對水而言，當固體邊界固定時，水將充滿整個固體邊界。但由于水具有粘性，其在固體邊界處的流速為0，而在過流斷面幾何中心處，其流速最大。因濾層中水流處于層流狀態(tài)，因此，在距離過流斷面幾何中心較遠的A點方向上，其流速梯度小于距離過流斷面幾何中心較近的B點方向上的流速梯度，水流對A點的沖刷力將小于對B點的沖刷力。當因體邊界具有隨意可變性時，由于水表面張力的作用，它有使其與固體的交界面（濕周）達到最小的趨勢，從而使其表面能降低。而圓則具有過流面積最大，其邊界最小的特性。因此，A點將首先被濁質填充，使其固體邊界逐漸變小，并趨于圓形斷面。所以說，當濾床截留濁質后，在其孔隙率減小的同時，濾料的吸附表面積也將相應的減小，而不會增大。

　　2.2 過濾方程
　　當把濾池的過濾過程描述為毛細管管壁對水中懸浮顆粒的吸附過程時，可利用毛細管模型來推求過濾過程中的濁質去除計算模型。
　　2.2.1濾層堵塞方程
　　在濾層中取某一毛細管作為考查對象，在深度Z處取斷面1，并在深度Z+dz處取斷面2，如圖2所示。設在過濾時刻。設在過濾時刻t，斷面1處的濁質濃度為c，則斷面2處的濁質濃度為：

　　水中濁質被毛細管管壁吸附后，其管壁附近的濁質濃度下降，使得毛細管中心附近濁質與管壁附近出現(xiàn)濃度梯度。在濃度梯度的推動下，管中心濁質將向管壁擴散。這種擴散包括布朗運動擴散和水力推散。其擴散速度可表示為：

　　式中：υ——濁質的擴散速度（m³/m².S)
　　　　　D——濁質的擴散系數(shù)（m²/S)
　　　　　rm——毛細管吸附濁質后的孔道半徑（m）
　　假設濁質一旦擴散到毛細管管壁，即認為被管壁截留，這同理想沉淀池的原理是相同的。因此，經(jīng)過dt時段后，其擴散量也就是沉積量為：

　　dG_k=υ_kπd_mdzdt≈D(c/r_m)πd_mdzdt=2πDcdzdt　　　　　　?。?）

　　式中：dG_k——濁質的沉積量（m3)
　　　　　d_m——毛細管吸附濁質后的孔道直徑（m）。
　　沉積在毛細管壁上的濁質，會因水流的剪切力而被剝落下來再次回到水中，設其剝離速率與水流的剪切力和毛細管道的堵塞率成正比。若令沉積在單根毛細管管壁單位長度上的濁質體積量為σd(m3/m.根），則有：

　　σ_d=σ/n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

　　式中：σ——比沉積量（m³/m³），指單位體積濾層中沉積的濁質體積量。
　　因此，濁質的剝離速率可表示為：

式中：υ_b——濁質的剝離速率（m³/m².s）
　　　　B——濁質的剝離系數(shù)（m³/N.s），它與濾料的表面特性以及水中濁質顆粒的表面特性即混凝特性有關?；炷Ч茫瑒tB值小，否則B值大
　　　　u——孔道中的水流速度（m/s)；
　　　　τ——水流的剪切應力（N/m²)；
　　　　μ——水的動力粘性系數(shù)（Pa.s）；
　　　　d_mQ——毛細管原始直徑（m）；
　　　　ε₀—清潔濾層的孔隙率。

　　則經(jīng)過dt時段后的濁質剝離量為：

　　式中：dG_b——濁質的剝離量（m³)。
　　經(jīng)過dt時段后，毛細管dz管長上截留的濁質量可表示為：

　　式中：dQ——毛細管上截留的濁質量（m³）。
　　根據(jù)物質不滅定律有：

　　稱λ₁為截留系數(shù)，λ₂為剝離系數(shù)，通稱為過濾系數(shù)。
　　又因為u=（υ/ε）=υ/（ε₀-σ），其中υ為濾速（空塔速度），則（14）式可改寫為：

　?。?7）式描述了濾層的堵塞過程，可稱其為濾層的堵塞方程。該式即為本文作者利用毛細管模型推導出的均質濾料濾床過程的濾層堵塞方程式。
　　2.2.2 連續(xù)性方程
　　在dt時段內，由水流輸送凈流入dz長度毛細管單元中的濁質量為：

　　（22）式描述了濾層中截留的濁質與水流中殘存懸浮物的相互關系，可稱其為過濾過程中的連續(xù)性方程。
　　上式中c為過濾流體中的濁質體積濃度，其單位為（m³固體/m³液體）。顯然，c的最大值為I。當c=1時，表示過濾介質已變成固體。在一般的流體過濾過程中，其濁質濃度c<<1，則（22）式可簡化為：

　　式（22）和（23）即為本文作者推導出的均質濾料過濾過程中的連續(xù)性方程。
　　2.2.3 過濾方程
　　由連續(xù)性方程（22）式可得：

　　將（17）式代入（24）式得：

　　同理，在一般的過濾過程中有c<<1,則（25）式可簡化為：

　　式（25）和（26）描述了水中懸浮物質的去除過程，可稱其為濁質去除方程或過濾方程。
　　該兩式也是筆者首次利用毛細管模型推導出的均質濾料濾床的過濾方程。
　　由（17）式和（26）式可以看出：當比沉積量σ≠而進水濁質濃度c=0,懸浮物的去除速率為正值,而濾層中比沉積量的沉積速率為負值.這說明由于水流對沉積在濾料表面上的濁質的剝離,使得水中濁質濃度在增加,而比沉積量在減小。方程描述的這一物理意義與實際過濾過程中的物理現(xiàn)象是相符的，它正好描述了正向沖洗時的濾層清潔過程。因此可以說，（17）、（23）和（26）式不但是過濾方程，同時也是濾層在不擾動情況下的反沖洗方程，這正好說明反沖洗過程是過濾過程的逆過程。

　　3 過濾方程式的簡化分析

　　3.1 濾層中的最大比沉積量
　　當濾層吸附飽和而失去除濁能力時，其比沉積量的變化速率為0，因此可令濾層堵塞方程式（17）式中的即可求得濾層的最大飽和吸附量σmax。此時進入該層的懸浮物濃度應等于原水濃度，即c=c0，因此有：

　　由（29）式可以得出如下結論：
　?。?）當過濾流體為無粘性的理想流體時，有μ=0。則：σmax=ε0；
　?。?）當懸浮顆粒與濾料表面的粘附力無究大時，則濾層將無濁質剝落，此時有B=0。則有：σmax=ε0；
　　這說明在這兩種極端情況下，濾層所能截留的濁質量最多為它的孔隙率。
　?。?）提高濾速，則最大比沉積量減小；
　?。?）進水濃度提高，則最大比沉積量增大；
　　將（29）式兩邊同除清潔濾層孔隙率ε0，則得濾層的最大堵塞率ξmax為；

　　ξmax=σ_max/ε₀=DC0ε₀/（Dε₀+Bμν） 　　　　　　　?。?0）

　　3.2 濾層開始飽和時所需要的過濾時間
　　在濾池表層，有z=0，c=c0=常數(shù)。因此，濾層堵塞方程（17）可寫為：

　　式中：σi——濾池表層（z=0）的比沉積量。
　　當過濾是從清潔濾層開始進行時，有當t=0時，σi=0。

　　上式表明，在有限的過濾時間內，從理論意義上來講，濾層中不可能有所謂的“飽和”階段出現(xiàn)。這是因為：過濾也是一種吸附過程，隨著過濾的不斷進行，其吸附推動力逐漸減弱，吸附速率（去除速率）逐漸減緩，但不可能完全停止。這一原理與其他多種物理過程，包括化學反應過程一樣，是一個無限趨近的過程。因此，理論上濾層是難以達到完全飽和。
　　在實際應用中，可取當σ=95%σ_max時，即可認為濾層已達到飽和狀態(tài)。此時所需要的過濾時間為：

　　3.3 比沉積量沿濾層深度方向上的分布規(guī)律
　　在濾層中取某一毛細管作為考查對象，如圖3所示。由表層算起考場 細管長度為z，進入毛細管的濁質濃度為C。經(jīng)過時間t過濾后，毛細管單位長度上的濁質沉積量為σd，根據(jù)物粒平衡關系有：

　　上式等號左側第2項表示濾層孔隙中殘存的懸浮顆粒物量。當過濾時間較長時，該項與其他項相比，可忽略不計。因此（35）式可進一步簡化為：
　　
　　由方程（17）得
　　
　　

　　因udt=dz，而在z斷在處有當t=0時，z=z,當t=t時，z=z’，其中z’為假設毛細管無限長時，經(jīng)過t時間段后，流體沿毛細管流行的距離，因此有：
　　

　　（43）式即為比沉積量沿濾層深度方向上的分布規(guī)律。將（43）和（17）兩式合并可得：
　　

　　由于（43）式中σ與函數(shù)c有關，因此求解較為困難?，F(xiàn)對簡化式（44）求積分得：

　　σ=σ₁e^{-[（λ1/ν）-λ2]z} 　　　　　　　　　　　?。?6）

　　此即為比沉積量沿濾層深度上的近似分布。該式表示：在過濾過程中，濾層中的比沉積量沿深度方向近似按負指數(shù)規(guī)律衰減。提高濾速，則比沉積量衰減率減小，濁質向濾層深處穿透，比沉積量在濾層中的分布趨于均勻?；炷Ч岣撸?減小，比沉積量衰減率增大，表明濁質較易被表層截留。由于σi與過濾時間有關，因此，σ也是過濾時間t的函數(shù)。
　　將λ1和λ2的值代入上式得：

　　 σ=σ₁e^{（8/d2mo）[（Dε0/ν）Bμ]z 　　　　　　　（47）}

3.4 水中濁質濃度在濾層深度方向上的變化
　　在常規(guī)過濾過程中，濾層中的比沉積量σ遠小于濾層的孔隙率，特別是在濾層深入更是如此，則過濾方程（36）可簡化為：
　　

　?。?9）式說明，由于水流剝離力的存在，水中濁質濃度比理想情況增加了一項，使出水濃度有所增加。
因在求解時忽略了ε0-σ中的σ，因此將（49）式進行適當修正得：
　　

　　此式即水中濁質在濾層深度方向上的分布。上式說明，濁質沉濾層也近似符合負指數(shù)規(guī)律。將濾層深度L代入上式即可求得濾池出水濃度。

　　4 過濾水頭損失

　　 4.1清潔濾層的水頭損失
　　當將均質濾料床抽象為毛細管模型時，可利用水流在毛細管中流動時的水頭損失計算水流通過層的水頭損失 。
水流在均勻圓管內流動時的水頭損失可按下式計算：

　　 hf=λ（lu²/d2g） 　　　　　　　　　　　?。?2）

　　式中：hf——摩阻水頭損失（mH₂O);
　　　　　λ——摩阻系數(shù)；
　　　　　l——管道長度（m）；
　　　　　d——管徑（m）；
　　　　　u——管內平均流速（m/s）；
　　　　　g——策略加速度（m/s²）；
　　當水流狀態(tài)為層流時，其摩阻系數(shù)λ只與雷諾數(shù)Re有關，即：

　　λ=f(Re)=64/Re 　　　　　　　　　　　　　?。?3）

　　式中：Re——圓管內水流雷諾數(shù)，其定義為：

　　Re=ρud/μ　　　　　　　　　　　　　　　　 （54）

　　式中：ρ——水的密度（kg/m3)；
　　　　　μ——水的動力粘性系數(shù)（Pa.s）。
　　由于在濾池的毛細管模型中，毛細管為抽象的管道，而非實際圓管，因此，其阻力系數(shù)不能直接套用（53）式，但可仿效它。令抽象毛細管的摩阻系數(shù)為

　　λ=C/Re　　　　　　　　　　　　　　　　　　（55）

　　根據(jù)敏茨對粒狀材料過濾的大量統(tǒng)計學資料，可求得：C=163.2（其推求過程這里從略）。
　　將（52）式和（55）式應用到濾池的毛細管模型中，即可求得水流通過濾層的水頭損失。
　　水流通過△L厚度濾層，相當于水流沿毛細管流過△L長度，其水頭損失為：

　　此式即為水流通過濾層時的水頭損失計算公式。
　　對于均質濾料清潔濾層，其濾料的表面形狀系數(shù)a、當量直徑de和濾層的孔隙率ε均為常數(shù)，因此，均質濾料清潔濾層的水頭損失可表示為：

　　式中：H₀——清潔濾層的水頭損失（mH₂O)；
　　　　　a₀——清潔濾料的表面形狀系數(shù)；
　　　　　ε₀——清潔濾層的孔隙率；
　　　　　d_e0——清潔濾料的當量直徑（m）。

　　4.2 堵塞濾層的水頭損失
　　當濾池經(jīng)過一段時間過濾后，濾層受到截留懸浮物的堵塞，使其孔隙率減小，這相當于毛細管的管徑縮小。設毛細管單位管長截留的懸浮物量為σd，毛細管管徑由d_m0縮小至dm，則下式等式成立：

　?。é?4）d²m0-（π/4）d²m=σ_d （59）

　　因此有：

　　對于恒速過濾，其過濾流量不變，當毛細管徑縮小后，其孔道內流速必將增大。根據(jù)流體的連續(xù)性方程可得^：

　　　?。é?4）d²m0.u0=（π/4）d²m.u

　　式中：u0——清潔管道中的流速（m/s）；
　　　　　u——毛細管截留濁質后的孔道流速（m/s）；
　　即 u=u0[dm0/dm]²=u0/β² 　　　　　　　　　　　　　　　（61）
　　此時的雷諾數(shù)為：

　　式中：Re0——清潔孔道中的雷諾數(shù)。
　　因此，濾層截留留懸浮物后，其△L厚度濾層的水頭損失為：

　　將濾層中的比沉積量分布函數(shù)（46）式代入上式，求積分并經(jīng)整理可得：

　　H_t=K_t.H₀ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?5）
　　式中：H_t——堵塞濾層的水頭損失（mH₂O);
　　　　　H₀——清潔濾層的水頭損失（mH₂O）；
　　　　　K_t——水頭損失增長系數(shù)，其值為：

　　式是：θ=（λ₁/ν）-λ₂
　　　 　　L——濾層厚度（m）。

　　式（65）說明，過濾過程中的水頭損失等于清潔濾層的水頭損失乘以濾層因被截留濁質堵塞而使水頭損失增長的系數(shù)。因水頭損失增長系數(shù)K_t與表層比沉積量有關，因此堵塞濾層的水頭損失也是過濾時間的函數(shù)。

　　5 過濾特性與濾料粒徑和濾層厚度的關系

　　濾池的過濾特性可以用它的水頭損失和濾出水濁度兩個特性來表征
　　5.1 過濾水頭損失
　　由（58）式可知，清潔濾層的水頭損失與濾層厚度成正比，而與濾料的當量走私的平方成反比。即在其他條件不變的情況下，清潔濾層的水頭損失可表示為如下函數(shù)形式：

　　H₀=f₀[L₀/d2_e0] 　　　　　　　　　　　　　　　(67)

　　由(65)式可知，過濾過程中的水頭損失等于清潔濾層水頭損失乘于水頭損失增長系數(shù)Kt，而Kt與（λ₁/ν）L₀和λ₂L₀有關，但：

　　由（4）式可知，d_mo∝de0,因此，水頭損失增長系數(shù)Kt可表示為：

　　則過濾過程中的水頭損失Ht可表示成如下函數(shù)形式：

　　由此可知，無論是清潔濾層還是過濾過程中，其水頭損失與濾池的L0/d2e0相關。

　　5.2 濾池出水濁度
　　由（51）時可，濾池的出水濁度也是與（λ₁/ν）L₀和λ₂L₀有關，因此，其出水濁度可表示成如下函數(shù)形式；

　　c=f_c[L₀/d²_e0,t]　　　　　　　　　　　　　　　　　 （72）

　　也就是說，濾池的出水濁度與濾池的L₀/d²_e0相關。
　　綜合以上兩方面的分析可以得出結論：濾池的過濾特性與濾層深度和濾料當量直徑平方的比值相關，即與濾池的L₀/d²_e0相關。只有當濾池的L₀/d²_e0相同時，其過濾特性才可相同或相當。
　　雖然增大濾料徑可減小水頭損失，但隨之帶來的是出水水質的惡化或過濾周期的縮短。因此可以說，依靠增大濾料粒徑的方法來減少過濾中能量消耗的這一途徑是行不通的，也是不符合能量守恒原理的。因此要想將懸浮顆粒從水中去除，必須付出一定的代價，也就是能量消耗。

　　6 結論

　　（1）將濾池抽象為毛細管模型后，可簡化過濾過程的數(shù)學描述。毛細管管徑和單位濾池面積上的毛細管管束數(shù)與濾料的當量直徑、孔隙率和表面形狀系數(shù)有關；
　　（2）由于水本身具有的特性，當濾層截留懸浮物后，在其孔隙率減小的同時，濾料的吸附表面積也在相應的減小，不會增大；
　?。?）均質濾料過濾過程中，濾層中的比沉積量在濾層深度上近似呈負指數(shù)規(guī)律變化，濁質濃度也近似符合負指數(shù)規(guī)律；
　?。?）在有限的過濾時間內，理論上濾層難以徹底失去除濁能力，因此也就不可能出現(xiàn)所謂的“安全飽和”階段；
　?。?）濾層中的最大比沉積量不但與進水懸浮物濃度有關，而且還與濾速有關；
　　（6）過濾過程中濾層水頭損失等于清潔濾層的水頭損失乘以濾層因被濁質堵塞而使水頭損失增加的系數(shù)。
　　（7）濾池的過濾特性與濾層深度和濾料當量直徑平方的比值相關，只有當濾池的L₀/d²_e0相同時，其過濾特性才可相同或相當。

　　參考文獻
　　[1] 許保玖、安鼎年，《給水處理理論與設計》，中國建筑工業(yè)出版社，1992年11月；
　　[2]嚴熙世、范瑾初，《給水工程》，中國建筑工業(yè)出版社，1995年6月；
　　[3][蘇]ю.M.康士坦丁諾夫著，鐘用升譯，《水力學》，江西高校出版社，1990年7月；
　　[4][蘇]д.м.明茨，C.A.舒別爾特著，惠遇甲譯，《粒狀材料水力學》，水力出版社，1955年；