信昆侖 劉遂慶
(同濟(jì)大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院)

　　摘要 本文簡(jiǎn)要介紹了給水管網(wǎng)工程領(lǐng)域研究者所使用的傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和最新發(fā)展,并對(duì)各種方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的比較,同時(shí)概要介紹了管網(wǎng)可靠度問(wèn)題在模型中的實(shí)現(xiàn)。
　　關(guān)鍵詞 給水管網(wǎng) 優(yōu)化設(shè)計(jì) 線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 可靠度

　　1 概述

　　自本世紀(jì)60年代提出給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)優(yōu)化計(jì)算方法以來(lái)，研究者在這一領(lǐng)域已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展，提出和發(fā)展了基于最優(yōu)化理論和管網(wǎng)水力特性的各種設(shè)計(jì)理論和方法。
　　最早給水管網(wǎng)設(shè)計(jì)模型是基于樹狀管網(wǎng)提出的（例如，kormeli et al（1968），schaake and lai （1969）），這些模型可以尋求全局最優(yōu)解，然而由于其僅僅適用樹狀管網(wǎng)，因而對(duì)于在實(shí)際城市給水管網(wǎng)的設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō)并無(wú)太大的價(jià)值。

　　2 線性規(guī)劃法

　　Alperovits and Shamir 于1977年提出所謂線性規(guī)劃梯度法，并給出了其在復(fù)雜管網(wǎng)系統(tǒng)以及多水力工況下的應(yīng)用，也為以后研究者指出了一條逐步迭代逼近尋優(yōu)的設(shè)計(jì)思路，奠定了兩階段法的基礎(chǔ)。以管網(wǎng)中無(wú)其他組件且是單一工況這一最簡(jiǎn)單的情況為例：
　　對(duì)于已知的管網(wǎng)分布，預(yù)分配管網(wǎng)各管段的流量，對(duì)于管網(wǎng)中的各條管段，分別使其有連續(xù)幾段標(biāo)準(zhǔn)管徑的管段組成，各段長(zhǎng)度記為L(zhǎng)_i,j (連接i ,j 節(jié)點(diǎn)管段中第m檔管徑的管段長(zhǎng)度) ,構(gòu)造以下經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)

　　　　

　　　　　　　　　　　　　(1)

　　說(shuō)明： J_ijm：組成管段L_i,j 的第m檔管段的水力坡度：

　　bp: 對(duì)于環(huán)路為0,對(duì)于已知端點(diǎn)水頭的路徑為兩端點(diǎn)的水頭差值

　　H_maxn,H_minn分別是n節(jié)點(diǎn)所允許的最大最小水頭值

　　用經(jīng)典的線性規(guī)劃方法容易求出該L.P.問(wèn)題的最優(yōu)解,至此完成兩階段法的第一階段。

　　第二階段是：計(jì)算目標(biāo)值關(guān)于流量分配的梯度向量：

　　　　　　(2)

　　構(gòu)造第二階段目標(biāo)函數(shù)

　　　　(3)

　　該步驟中β的尋找是通過(guò)試算實(shí)現(xiàn),即給定初始β值作為相對(duì)于最大梯度向量分量的Q值的增量并依次按Gp的比例計(jì)算對(duì)應(yīng)Qp的增量,通過(guò)試算確定滿足該目標(biāo)函數(shù)的β值，從而獲得該種管徑組合下的最優(yōu)流量分配，重新回到第一階段，重新計(jì)算該流量分配下的管徑組合方案，如此往復(fù)直至目標(biāo)值不再減少為止。
　　此后,Quindry 等(1981)提出與之相似的算法,不同的是其在第二階段通過(guò)調(diào)整節(jié)點(diǎn)水頭而不是流量分布逼近最優(yōu)解。Okitsugu Fujiwara 和Do Ba Khang 于1990年提出綜合兩者交替固定流量分配和節(jié)點(diǎn)水頭逼近最優(yōu)解,這些方法都是基于Xi,j為決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題,并都對(duì)多工況，有泵站,水池及閥門的復(fù)雜管網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行了討論。
　　線性規(guī)劃方法是對(duì)于可行域內(nèi)最優(yōu)解的線性逼近,由于管網(wǎng)系統(tǒng)的優(yōu)化結(jié)果傾向于管網(wǎng)樹狀化,加入最小管徑約束只能保證管網(wǎng)的環(huán)狀,并不能實(shí)現(xiàn)真正意義上的管網(wǎng)可靠性問(wèn)題,因而如何在線性模型中實(shí)現(xiàn)可靠度的思想日益為研究者所關(guān)注。但是,由于可靠性的度量到目前為止還沒有公認(rèn)的定義,因而所有關(guān)于可靠度的線性規(guī)劃模型問(wèn)題并不具備統(tǒng)一的形式,也沒有廣泛的適用性,近幾年各國(guó)學(xué)者分別提出各自關(guān)于可靠度的模型,例如, Ian C.Goulter and Francois Bouchart 于1989 年提出的以下模型：
　　以rij表示單位長(zhǎng)度的第i管段第j檔管徑的管段每年平均的破壞次數(shù),加入以下約束：

　　　　　　　(4)

　　其中

　　　　　(5)

　　RHS_i表示r_ij服從一定概率分布前提下給定時(shí)間內(nèi)i 管段所允許的故障次數(shù)。

　　Kofiawumah,Ian Goulter 等于1991年提出以熵作為管網(wǎng)可靠度的代用度量：

　　

　　其中q_ij表示由第i點(diǎn)流入第j點(diǎn)的流量。
　　此外，Okitsugu Fujiwara等以事故時(shí)流量虧值與總需水量的比值、Heekyung Park(1993)以冗余度(redundancy)作為可靠度的度量等等不一而足?？傊?可靠度由于其復(fù)雜的概念內(nèi)涵(與管徑,管材,閥門的多少,管網(wǎng)的構(gòu)成,故障的隔離與修復(fù)時(shí)間有關(guān)),因而現(xiàn)有的各種度量方式都不能涵蓋所有方面,考慮的越全面,受計(jì)算時(shí)間及計(jì)算速度的影響隨管網(wǎng)規(guī)模的遞增就越明顯。

　　3 非線性規(guī)劃方法

　　由于管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算問(wèn)題本身具有的非線性性質(zhì),因而也可直接采用非線性規(guī)劃法解決,對(duì)于有泵站情況,經(jīng)簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)模型可寫為：

　　　　　　　　　(8)

　　n-管段數(shù)；m-水源泵站數(shù)；a,b,α-管段造價(jià)公式系數(shù)；E-電費(fèi)換算系數(shù)；γ-能量不均勻系數(shù)；η-泵站總效率；Li-管段長(zhǎng)度；Qi-節(jié)點(diǎn)流量；Hi-節(jié)點(diǎn)水頭 H,D-節(jié)點(diǎn)水頭,管徑上限；F(D,H)=0-節(jié)點(diǎn)連續(xù)性方程。
　　由hazon-willianm公式，H_i可以表示為D_i的非線性函數(shù)。于是上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以D為決策變量的非線性規(guī)劃問(wèn)題,然而對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)F(D,H)=0將分解為相當(dāng)龐大的約束集合,增加了用非線性規(guī)劃法求解的難度。目前,大多數(shù)學(xué)者傾向于采用獨(dú)立的水力計(jì)算程序求解該約束,這樣會(huì)大大削減主干問(wèn)題的約束個(gè)數(shù),利于非線性規(guī)劃方法的求解。具體到非線性規(guī)劃算法,應(yīng)用最廣泛的是廣義簡(jiǎn)約梯度法(General Reduced Gradient),其中以Lasdon和Waren于1983年開發(fā)的GRG2程序最為常用。水力計(jì)算程序使用最多的是Wood于1980年開發(fā)的KYPIPE(University of Kentucky Model)。
　　對(duì)于模型中的約束(2),Lansey和Mays(1989,1992)、Ning Duan(1990)等采用了增廣拉格朗日乘子的處理方法。

　　設(shè)： 　　　　　　　　　?。?）

　　目標(biāo)函數(shù)改寫為：

　　　　　?。?0）

　　其中：c_i=min(ci-ci)，ci=Hi-Hi，Ci=Hi-Hi

　　　　　μ_i—懲罰因子，σ_i —拉格朗日乘子。

　　此時(shí)該目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的約束只有(3),大大減少了問(wèn)題的規(guī)模.同樣,如果將管網(wǎng)可靠度看作H,D的函數(shù),模型中可加入以下可靠度約束：

　　R(H,D)≤R(H,D)≤R(H,D) （11）

　　該約束的求解也多采用獨(dú)立子程序計(jì)算并以拉格朗日乘子的形式加入目標(biāo)函數(shù)中以降低非線性規(guī)劃問(wèn)題的復(fù)雜程度,三者的關(guān)系可以下圖表示：

　　大量的研究者采用了GRG2、KYPIPE兩個(gè)子程序分別處理最優(yōu)化部分和水力計(jì)算部分,因此各種非線性算法的主要分歧仍然落在可靠度計(jì)算子程序上.不同研究者分別采用了不同的度量方式 (最小切割集法,Su Yuchun，1988；RAPS程序，Ning Duan，Lansey，Mays，1990；時(shí)間比例法，Cullinane，Lansey，Mays，1992)，類似于線性規(guī)劃方法,不同算法在或是計(jì)算時(shí)間或是概念涵蓋方面都有各自的缺點(diǎn)或長(zhǎng)處而分別適用于解決某一特定類型的問(wèn)題。

　　4 生物進(jìn)化規(guī)劃及遺傳算法

　　近年來(lái),隨著生物工程的蓬勃發(fā)展,隨之而起的遺傳學(xué)算法開始介入各個(gè)工程領(lǐng)域,該算法在有泵管網(wǎng),管網(wǎng)擴(kuò)建與改建等課題中也開始有應(yīng)用(David.E.Goldberg,1987；Simpson 等,1995)。遺傳算法(Genetic Algorithm)應(yīng)用于給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)課題中,實(shí)質(zhì)上是一種策略枚舉法,以單工況,單水源的簡(jiǎn)單情況為例：
　　首先對(duì)工程實(shí)際所限定的各檔標(biāo)準(zhǔn)管徑進(jìn)行編碼,于是管網(wǎng)不同的管徑組合方案可以形成不同的代碼串,經(jīng)過(guò)對(duì)每一代碼串的解碼,由水力計(jì)算子程序可以求出該方案下管網(wǎng)的水力特性如H,Q等,進(jìn)而可以求算用于評(píng)價(jià)方案優(yōu)劣程度的目標(biāo)函數(shù)值。然后遺傳算法根據(jù)生物遺傳進(jìn)化的原理,對(duì)產(chǎn)生的初始方案進(jìn)行選擇、重組、變異, 產(chǎn)生新一代個(gè)體,仿照生物進(jìn)化過(guò)程代代進(jìn)化下去,最終可以得到滿足要求的最優(yōu)個(gè)體,解碼后即為該課題的最優(yōu)方案。
　　相對(duì)于傳統(tǒng)的線性,非線性規(guī)劃算法,遺傳算法的優(yōu)勢(shì)在于:(1)算法思路簡(jiǎn)單,不受規(guī)劃問(wèn)題要求的可微、可導(dǎo)、連續(xù)等限制,不但可以避免線性規(guī)劃解的”瓶頸”問(wèn)題,也避免了非線性規(guī)劃最后對(duì)連續(xù)管徑進(jìn)行”圓整”帶來(lái)的麻煩與偏差(2)由于遺傳算法從一組方案出發(fā),擴(kuò)大了搜索尋優(yōu)的范圍,減少了傳統(tǒng)規(guī)劃方法線式尋優(yōu)(如按梯度搜索)產(chǎn)生局部最優(yōu)解與全局最優(yōu)解差距較大的風(fēng)險(xiǎn)。遺傳算法的不足之處在于耗機(jī)時(shí)太多,對(duì)大型復(fù)雜管網(wǎng)更是如此.這主要由于其中的選擇,交換,變異等過(guò)程還沒有一個(gè)適合管網(wǎng)優(yōu)化問(wèn)題的完善算法,同時(shí)也是因?yàn)樵撍惴ㄘ灤藥茁实乃枷攵凰苽鹘y(tǒng)方法具有確定性。

　　5．結(jié)語(yǔ)

　　隨著研究者在這一領(lǐng)域的不懈努力,給水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算的方法日趨豐富,涉及的問(wèn)題的深度與廣度也日趨加強(qiáng),具體地說(shuō),如何對(duì)復(fù)雜管網(wǎng)在多種工況時(shí),考慮管網(wǎng)的可靠性情況下，利用原有的線性的或者非線性的方法,或者采用遺傳算法之類的新方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),使之更接近城市供水管網(wǎng)的工程實(shí)際,并進(jìn)一步開發(fā)相應(yīng)的軟件,是研究者所關(guān)注的課題。

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