于水利，李圭白，田永平
（哈爾濱工業(yè)大學(xué)市政與環(huán)境工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150090）

　　摘　要：在國(guó)外現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，從理論上推導(dǎo)出了懸濁液透光率脈動(dòng)值的解析式。對(duì)該解析式的進(jìn)一步研究表明，懸濁液透光率脈動(dòng)值V_R或R（R＝V_R/V）主要與懸濁顆粒大小有關(guān)，顆粒個(gè)數(shù)濃度N對(duì)V_R或R的影響較小，懸濁顆粒凝聚時(shí)透光率脈動(dòng)值總是增大的。給出了單一粒徑組成和具有一定粒徑分布的懸濁液，根據(jù)其透光率脈動(dòng)值計(jì)算顆粒平均粒徑的解析式。
　　關(guān)鍵詞：懸濁液；透光脈動(dòng)；懸濁顆粒；檢測(cè)；傳感器
　　中圖分類號(hào)：X832
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
　　文章編號(hào)：1009－2455（2001）01－0001－05

An On-Line Monitoring Technique for Transmitted Light Fluctuation
in High-Turbidity Water and Its Application
——A Theory of Monitoring for Transmitted Light Fluctuating Particles
YU Shui-li，LI Gui-bai，TIAN Yong-ping
(Sch.of Municipal & Environ. Engin.，Harbin Insistute of Technology，Harbin 150090，china)

　　Abstract:Based on the present research abroved, an analytical formula for transmitted light fluctuation (TLF) value of suspension liquid id deduced theoretical.Further research into this analytical formula shows that the TLF value of V_R or R(R=V_R/V) of suspension liquid is primarily related to the sizes of suspended particles while the concentration of the number of the particles has less influence on V_R or R, and that TLF value always increases when suspended particles coagulate. An analytical formula is given to calcuate the average value of the size of the particles of a given suspension liquid having single particles size on the basis of its TLF value.
　　Key words:suspension liquid；transmitted light fluctuation；suspended particle；monitoring；transducer

前言

　　懸濁顆粒的檢測(cè)，目前國(guó)內(nèi)外常用以光學(xué)檢測(cè)為基礎(chǔ)的各種光散射計(jì)數(shù)器，如：Coulter顆粒分析儀^[1]及Hiac計(jì)數(shù)器^[2]等。這些方法存在受光照射水樣體積小，檢測(cè)的只是單個(gè)粒子的行為，并需對(duì)檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行脈沖高度分析，不能實(shí)現(xiàn)在線連續(xù)檢測(cè)，
測(cè)定時(shí)需要對(duì)水樣進(jìn)行稀釋，以避免顆粒的重疊，以及絮凝體在通過(guò)Coulter孔口或Hiac計(jì)數(shù)器的檢測(cè)區(qū)時(shí)被打碎，測(cè)定費(fèi)時(shí)費(fèi)力等問(wèn)題。20世紀(jì)80年代后期，Gregory和Nelson^[3]首次發(fā)現(xiàn)懸濁液透光率脈動(dòng)值與懸濁顆粒粒徑有關(guān)，并就該相關(guān)關(guān)系進(jìn)行解
析，從而為懸濁顆粒粒徑檢測(cè)傳感器研究開(kāi)辟了新的途徑。
　　本文在國(guó)外透光脈動(dòng)研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)透光脈動(dòng)理論進(jìn)行探討，從理論上搞清了透光脈動(dòng)值與懸濁顆粒的粒徑、分布及濃度的關(guān)系。

1 透光脈動(dòng)懸濁顆粒檢測(cè)理論

　　1.1 懸濁液濁度
　　懸濁液濁度通常是通過(guò)測(cè)定其透光強(qiáng)度來(lái)確定的，因此其濁度大小取決于單位體積懸濁液內(nèi)雜質(zhì)顆粒數(shù)目及顆粒的光散射特性。對(duì)單一粒徑組成的懸濁液，假設(shè)單位體積懸濁液中有N個(gè)顆粒，顆粒的光散射截面為C；則當(dāng)一束光通過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的懸濁液的透過(guò)光強(qiáng)度I為：
　　　　I=I_Oexp(-NCL) 　　　　 （1）
　　式中I_O為入射光強(qiáng)。式（1）即為L(zhǎng)ambert－Beer定律。
　　濁度τ_u的定義為：
　　　　τ_u=NC　　　　　　（2）
　　由式（1）、式（2）得

　　　τ_u=(1/L)ln(I₀/I)

　　濁顆粒的光散射截面C，可用顆粒的幾何橫截面積表達(dá)，對(duì)于球形顆粒其表達(dá)式為：
　　　　C=Qπα²　　?。?）
　　式中：α－球形顆粒半徑；
　　　　　Q－顆粒光散射系數(shù)（無(wú)量綱），其主要取決于光波長(zhǎng)、顆粒大小及折光率。某些特殊情況下，Q可以簡(jiǎn)單地計(jì)算出。
　　對(duì)有粒徑分布的懸濁顆粒，式（2）變?yōu)椋?br> 　　　　τ_u=∑N_iC_i
　　式中：N_i－i種顆粒的個(gè)數(shù)濃度；
　　　　　C_i－i種顆粒的光散射截面。

　　1.2 懸濁液濁度變化理論
　　1.2.1 懸濁顆粒個(gè)數(shù)濃度的變化
　　連續(xù)式濁度計(jì)測(cè)量濁度時(shí)，即使同一個(gè)水樣其濁度測(cè)定值也隨機(jī)波動(dòng)，原因是水樣的不斷更新，導(dǎo)致光路內(nèi)顆粒個(gè)數(shù)濃度的隨機(jī)變化。
　　懸濁顆粒個(gè)數(shù)濃度N的這種隨機(jī)變化，主要是由兩方面的原因引起的，一是懸濁液中顆粒作布朗運(yùn)動(dòng)，使單位體積內(nèi)顆粒數(shù)目產(chǎn)生隨機(jī)變化，并且該隨機(jī)過(guò)程可以用泊松分布描述。若單位體積內(nèi)顆粒的平均個(gè)數(shù)為γ，則實(shí)際測(cè)量的顆粒數(shù)目為η的概率為：
　　　　p(n)=exp(-γ)·γⁿ/n!
　　泊松分布的均值與方差相等，即懸濁顆粒數(shù)目的均值與方差均為γ，標(biāo)準(zhǔn)偏差為γ^1/2，并且γ值較大時(shí)（γ＞50），分布基本對(duì)稱并能以高斯分布估計(jì)。二是由于懸濁液中雜質(zhì)顆粒濃度分布的不均勻性引起單位體積內(nèi)顆粒數(shù)目的隨機(jī)變化，其隨機(jī)過(guò)程也可以用泊松分布描述。
　　對(duì)一定體積懸濁液中顆粒數(shù)目變化檢測(cè)的難易程度，在很大程度上取決于檢測(cè)樣品體積的大小，取樣體積越大，顆粒數(shù)目相對(duì)變化越小，越不易檢測(cè)；相反，取樣體積較小時(shí)，顆粒數(shù)目相對(duì)變化值較大，測(cè)定較容易。對(duì)一般的懸濁液，假定每單位體積內(nèi)的顆粒數(shù)目N為10⁸個(gè)/cm³，從一個(gè)混合良好的懸濁液中連續(xù)取1cm³的樣品，則由于樣品中的顆粒數(shù)目的變化遵循泊松分布，所以上述1cm³的連續(xù)樣品中，顆粒的平均數(shù)目為10⁸個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10⁴，樣品中含有的顆粒數(shù)在10⁸±2×10⁴之間的概率為95％。這個(gè)差異僅為平均值的0.02％，不易檢測(cè)到。然而，如果取很小的樣品體積，如0.1mm³，則樣品中顆粒數(shù)目的均值為10⁴個(gè)，標(biāo)準(zhǔn)偏差為100，連續(xù)的樣品中的顆粒數(shù)目在均值上有±2％的差異，這就很容易檢測(cè)到。
　　1.2.2 懸濁液濁度的變化
　　懸濁液透光率的變化如圖1所示。一狹窄光束照射流動(dòng)的懸濁液，透過(guò)光強(qiáng)由光電管接受并轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)。

　　由于光路中的顆粒使光產(chǎn)生散射（也可能是吸收），導(dǎo)致透光強(qiáng)度減弱。若光路長(zhǎng)為L(zhǎng)，光柱的有效面積為A，檢測(cè)水樣的體積為AL，則光路內(nèi)顆粒的平均個(gè)數(shù)γ＝NLA，則由式（１）得透光強(qiáng)度的表達(dá)式為：

I/I₀=V/V₀=exp(-γ·C/A)　　　　　(4)

　　式中：I－平均透光強(qiáng)度；
　　　　　I_O－入射光強(qiáng)；
　　　　　V/V_O與I/I_O相對(duì)應(yīng)；
　　　　　V_O－相應(yīng)于入射光強(qiáng)度的電壓；
　　　　　V－相應(yīng)于平均透光強(qiáng)度的電壓（直流）。
　　由于光路內(nèi)的懸濁液不斷更新（流動(dòng)的水樣），顆粒數(shù)目隨機(jī)變化（泊松分布），所以透光強(qiáng)度相應(yīng)隨機(jī)脈動(dòng)（參見(jiàn)圖1）。透光強(qiáng)度的這種變化可以用透光強(qiáng)度脈動(dòng)值的均方根表示，相應(yīng)的電壓脈動(dòng)值的均方根為V_R；其大小與光路內(nèi)顆粒數(shù)目及其大小的隨機(jī)變化情況有關(guān)。
　　假設(shè)顆粒數(shù)目的隨機(jī)變化遵循油松分布^[3]，并且光柱內(nèi)顆粒數(shù)目在均值上下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)波動(dòng)。則通過(guò)計(jì)算光柱內(nèi)顆粒數(shù)目的上限和下限值對(duì)應(yīng)的平均電壓V，即可計(jì)算得到V_R。計(jì)算時(shí)認(rèn)為上限電壓與下限電壓之差是實(shí)際電壓變化的標(biāo)準(zhǔn)偏差的2倍，于是由式（4）得：
　　　　V_R=V_O[exp(-γC/A)](γ^1/2C/A)
　　　　　=V(γ^1/2C/A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
　　對(duì)于低濁懸濁液，V≈V_O，則式(5)簡(jiǎn)化為：
　　　　V_R=V_O(γ^1/2C/A)
　　1.2.2.1 顆粒個(gè)數(shù)濃度對(duì)V_R的影響
　　式(5)用顆粒個(gè)數(shù)濃度(N)表達(dá)為：
　　　　V_R=V_O[exp(-NCL)](NL/A)^1/2·C　　　　　　　　　　(6)
　　對(duì)給定的裝置，L/A為常數(shù)，對(duì)顆粒個(gè)數(shù)濃度N很小的懸濁液，exp(-NCL)≈1，這時(shí)V_R只與N^1/2及顆粒大小(通過(guò)光散射截面C反映)有關(guān)，對(duì)固定大小的顆粒而言，V_R隨顆粒的個(gè)數(shù)濃度的平方根成比例變化（圖2）。當(dāng)N較大時(shí)，exp(NCL)開(kāi)始對(duì)V_R有影響。當(dāng)指數(shù)部分減小的速度大于N^1/2增加的速度時(shí)，V_R達(dá)到最大值，對(duì)應(yīng)的顆粒個(gè)數(shù)濃度Nmax=1/2CL這時(shí)V/V_O=0.607。濃度繼續(xù)增大，V_R開(kāi)始減小。直流電壓V按指數(shù)規(guī)律隨N增大而減?。ㄈ鐖D2）。

　　綜合式（4）和式（6）有
　　　　V_R/V=(NL/A)^1/2·C　　　　　　　　　　　　　　　?。?）
　　等式左邊是脈動(dòng)電壓與平均電壓的比值，該比值隨顆粒個(gè)數(shù)濃度的平方根不確定地增加，其具體特性，很大程度上依賴于顆粒的特性（C值）。應(yīng)用中將該比值用R表示，該比值不受取樣管管壁污染及電子元件漂移的影響，受影響的只是與平均透光強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的平均電壓V。
　　1.2.2.2 顆粒大小對(duì)V_R的影響
　　為了討論顆粒大小對(duì)V_R的影響，做如下假設(shè)：①懸濁顆粒體積濃度為S_V；②懸濁顆粒為單一粒徑組成；③顆粒為球形，半徑α0則N=3S_V/4πα3結(jié)合式（3）和式（7）有

　　式（8）中，設(shè)S_V=10-3，A=3.42×10-2mm-2，L=1mm，光波長(zhǎng)820nm，懸濁顆粒選聚苯乙稀，Q可根據(jù)mie理論計(jì)算，則按式（8）即可計(jì)算得到V_R/V與顆粒粒徑的關(guān)系（圖3實(shí)線）。

　　圖3中V_R/V隨粒徑增大迅速增大，但出現(xiàn)一系列間隔規(guī)則的極大值和極小值，不過(guò)總的趨勢(shì)是V_R/V隨粒徑增大而增大。
　　圖3中的虛線為V_R的計(jì)算結(jié)果。這里
　　　　V_R=V_O[exp(-3QS_VL/4α)]×（3πS_VL/4A）^1/2·a^1/2·Q　　　　　　　　?。?）
　　由圖3可見(jiàn)V_R隨粒徑增大有規(guī)律地增大，曲線波動(dòng)較小。這主要因?yàn)槭剑?）比式（8）附加了濁度及其隨顆粒大小變化一項(xiàng)。
　　對(duì)實(shí)際有一定粒徑分布的懸濁顆粒而言，式（7）變?yōu)椋?br> 　　　　R=V_R/V=(L/A)^1/2·(∑N_iC_i²)^1/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10）
　　式中N_i是散射截面為C_i的顆粒個(gè)數(shù)濃度，求和是考慮了各種大小顆粒的綜合影響。
　　較小粒徑的顆粒，其散射截面較小，相應(yīng)的N_iC_i²值也較?。欢^大顆粒的光散射截面相對(duì)較大，即使其顆粒濃度較低，但也能得到較大的N_iC_i²值，對(duì)R值的貢獻(xiàn)相對(duì)要大些，所以，式（10）中R值的大小主要由顆粒的大小決定。在懸濁液中若有少量大顆粒雜質(zhì)或懸濁顆粒產(chǎn)生絮凝時(shí)，由于大顆粒的存在或絮凝的形成會(huì)使R值顯著增大，因此，R值可作為反映懸濁顆?；炷潭鹊闹笜?biāo)。
　　當(dāng)顆粒粒徑連續(xù)分布時(shí)，式（10）中的N_iC_i²項(xiàng)可用積分代替。假設(shè)不同粒徑顆粒數(shù)目的隨機(jī)變化是不相關(guān)的，并且都遵循泊松分布，則顆粒個(gè)數(shù)濃度脈動(dòng)的總方差恰好就是每種粒徑顆粒單獨(dú)方差之和，于是對(duì)粒徑分布為f(a)的懸濁液，式（10）變?yōu)椋?br> 　　　　R=V_R/V=(N·L/A)^1/2π[∫₀^∞α⁴f(α)Q²(α)dα]^1/2　　　　　　　　　　　?。?1）
　　式中N同前，Q(α)是半徑為α的顆粒的光散射系數(shù)。
　　1.2.2.3 顆粒凝聚或絮凝對(duì)V_R的影響
　　懸濁液中顆粒產(chǎn)生凝聚或絮凝時(shí)，一方面，懸濁顆粒數(shù)目會(huì)減少；另一方面，其光散射截面增加。這兩種變化對(duì)V_R和R有相反的影響，不過(guò)顆粒個(gè)數(shù)濃度的變化比聚集狀態(tài)的變化對(duì)V_R和R的影響要小得多。
　　為了說(shuō)明這一點(diǎn)，考慮兩個(gè)簡(jiǎn)單的顆粒凝聚模式（如圖4所示）

　　第一個(gè)模式，假設(shè)球形顆粒凝聚后形成更大的球形絮凝體^[圖4(a)]，光散射截面假設(shè)與顆粒的幾何截面積成比例，則
　　　　C_j＝j(luò)^2/3C₁　　　　　　　　　　　　　?。?2）
　　式中：C_j—j重絮凝體的光散射截面；
　　　　　C₁—初始顆粒的光散射截面。
　　第二個(gè)模式，假設(shè)球形顆粒凝聚后形成直列形絮凝體^{[圖4（b）]}，則其總散射面積就是組成該絮凝體的那些初始顆粒各自散射截面積的總和
　　　　C_j＝j(luò)C₁（13）
　　不過(guò)，對(duì)許多情況，這些假設(shè)是不真實(shí)的，但它們可以作為極端情況，真實(shí)絮凝體的情況介于它們之間^{[圖4（c）]}。
　　初始為單一粒徑組成的懸濁液在凝聚時(shí)可產(chǎn)生一系列粒徑的絮凝體，其分布情況取決于凝聚條件。為便于說(shuō)明，假設(shè)絮凝體粒徑分布可用Smolu－chowski式表達(dá)，則在不同的無(wú)量綱時(shí)間t/t_f（t為絮凝時(shí)間；t_f為顆粒濃度減少到初始值的一半時(shí)的時(shí)間）值下可算得各種絮凝體濃度，將該計(jì)算值和式（12）或式（13）一起代入式（10）就可求出相應(yīng)的R值。
　　未絮凝時(shí)，單一粒徑組成的顆粒，其R值可表達(dá)為
　　　　R_未絮＝（L/A）^1/2·N0^1/2C₁ （14）
　　對(duì)絮凝時(shí)有一定粒徑分布的絮凝體有
　?、兕w粒形成球形絮凝體
　　　　R_絮=R_未絮{∑[(t/t_f)^j-1/(1+t/t_f)^j+1]·j^4/3}^1/2　　　　　　　　　　　　（15）
　?、陬w粒形成直列形絮凝體
　　　　R_絮=R_未絮{∑[(t/t_f)^j-1/(1+t/t_f)^j+1]·j^4/3}^1/2　　　　　　　　　　　?。?6）
　　用相似的方法可由式（4）推導(dǎo)出懸濁顆粒按上述兩種假設(shè)模型絮凝時(shí)，各自在絮凝前后濁度值變化情況的表達(dá)式。圖5為兩種假設(shè)模型各自的R_絮/R_未絮和τ_u絮/τ_u未絮隨絮凝進(jìn)行其變化情況的計(jì)算結(jié)果。

　　對(duì)形成直列形絮凝體的假設(shè)，凝聚發(fā)生后，濁度不變化，因?yàn)檫@時(shí)絮凝體散射的光與初始顆粒散射的光相同，但此時(shí)R值顯著增加；對(duì)球形聚合假設(shè)，當(dāng)顆粒凝聚時(shí)，濁度明顯降低，而R值卻有相當(dāng)比例的增大。
　　圖5中所示的兩種凝聚假設(shè)條件下的R值相對(duì)變化曲線是兩種極端的絮凝情況。實(shí)際中普遍存在是隨機(jī)形成的絮凝體，其R值變化曲線應(yīng)介于這兩條曲線之間。由此可見(jiàn)，無(wú)論絮凝體的結(jié)構(gòu)如何，當(dāng)發(fā)生絮凝時(shí)人值總是增大的。

2 懸濁顆粒粒徑分析

　　式（4）兩邊取對(duì)數(shù)，并用N描述

ln(V₀/V)=NLC　　　　　　　(17)

　　由式（7）和式（17）消去顆粒的光散射截面C（顆粒的復(fù)雜函數(shù)），可求得懸濁顆粒個(gè)數(shù)濃度

　　若顆粒的體積濃度S_V已知，則由式（18）可求出顆粒等體積球半徑α

　　式（19）只適用于單一粒徑組成的懸濁液。
　　對(duì)于具有一定粒徑分布的懸濁顆粒^{[其粒徑分布函數(shù)f(a)]}，結(jié)合式（3），式（17）可改寫(xiě)為

　　由式（11）、式（20），即可得到具有一定粒徑分布的懸濁顆粒的個(gè)數(shù)濃度

　　同樣，若懸濁顆粒體積濃度為S_V，則由式（21）可求出懸濁顆粒的平均體積粒徑α。

　　總之，對(duì)單一粒徑組成的懸濁液，顆粒個(gè)數(shù)濃度N可由懸濁液透光脈動(dòng)檢測(cè)裝置方便地測(cè)出，而不需要知道顆粒的任何光學(xué)特性，尤其當(dāng)顆粒體積濃度S_V已知時(shí)，可定量計(jì)算出平均體積粒徑。對(duì)具有一定粒徑分布的懸濁顆粒，由該裝置也可以半定量地得到懸濁顆粒的個(gè)數(shù)濃度及其平均體積粒徑。

3 結(jié)論

　　透光脈動(dòng)懸濁顆粒檢測(cè)技術(shù)與以往其它光學(xué)檢測(cè)法有本質(zhì)的區(qū)別。透光脈動(dòng)法重點(diǎn)考察的是懸濁液透光率的脈動(dòng)值，并且該值通過(guò)光電轉(zhuǎn)換可以用輸出電壓的脈動(dòng)值的均方根V_R或R（R=V_R/V）表示。懸濁液透光率脈動(dòng)值V_R或R（R=V_R/V）主要與懸濁顆粒大小有關(guān)，顆粒個(gè)數(shù)濃度對(duì)V_R或R的影響較小。對(duì)單一粒徑組成的懸濁液，由透光率脈動(dòng)值可以定量地計(jì)算出顆粒的個(gè)數(shù)濃度和顆粒粒徑，而不需考慮顆粒的任何光學(xué)特性。對(duì)于具有一定粒徑分布的懸濁液，則必須考慮粒徑分布函數(shù)。對(duì)懸濁顆粒的各種凝聚模式的分析結(jié)果表明，懸濁顆粒凝聚（或絮凝）總是使透光脈動(dòng)值增大。由于比值R不受取樣管管壁污染及電子元件漂移的影響，受影響的只是與平均透光強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的平均電壓V，所以實(shí)際應(yīng)用中可將R值作為檢測(cè)指標(biāo)。

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　　作者簡(jiǎn)介：
　　于水利（1962－），男，教授，博士生導(dǎo)師，哈工大市政工程系主任。1962年10月生，1983年畢業(yè)于哈爾濱建筑大學(xué)市政與環(huán)境工程學(xué)院，長(zhǎng)期從事給水排水、環(huán)境工程的教學(xué)和科研工作。
　　Email：ysihgdd@china.com
　　收稿日期：2000-10-16

　　＊霍英東教育基金會(huì)青年教師基金(編號(hào)：070)，湖北省廢物地質(zhì)處置與環(huán)境保護(hù)重地實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金聯(lián)合資助。