樊建軍，劉金香，袁華山
(南華大學(xué)建筑工程與資源環(huán)境學(xué)院，湖南衡陽421001)

　　摘　要：為克服明渠水力計(jì)算中試算法帶有盲目性、計(jì)算工作量大和圖解法使用不便、精度較差的缺陷，在對(duì)明渠水力計(jì)算公式進(jìn)行充分剖析的基礎(chǔ)上，給出了相應(yīng)的迭代公式，并從數(shù)學(xué)上證明了迭代公式的收斂性。公式用于工程設(shè)計(jì)計(jì)算具有速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)，效果令人滿意。
　　關(guān)鍵詞：迭代法；明渠；水力計(jì)算
　　中圖分類號(hào)：TU991.32
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C
　　文章編號(hào)：1000-4602(2001)06-0043-02

1　基本公式與迭代公式

　　明渠均勻流的基本公式為：

　　
　　式中　Q——流量
　　　　　i——渠道底坡
　　　　　n——粗糙系數(shù)
　　　　　m——邊坡系數(shù)
　　　　　b——渠底寬度
　　　　　h——水深
　　對(duì)基本公式加以改造，可得求解b或h的迭代公式：

　　

　　明渠水流處于臨界流狀態(tài)時(shí)，各參數(shù)滿足以下關(guān)系：

　　　　　　αQ²／g＝(b+mhk)³h_k／b+2mh_k　　　　　　　　　(5)
　　式中　α——?jiǎng)幽苄拚禂?shù)，通常取α＝1
　　　　　g——重力加速度
　　　　　hk——臨界水深

　　對(duì)式(5)進(jìn)行改造，可得計(jì)算臨界水深的迭代公式：
　　
　　式中　β——?jiǎng)恿啃拚禂?shù)，通常取β＝1
　　　　　ω——過水?dāng)嗝婷娣e，ω＝(b+mh)h
　　　　　y——過水?dāng)嗝嫘涡乃?，y＝3bh+2mh²／6(b+mh)
　　令θ(h)＝βQ²／gω+yω，用h′與h″分別代表躍前水深與躍后水深，由水躍基本方程可導(dǎo)出以下迭代公式：
　　

2　收斂性證明

　　根據(jù)迭代理論，假設(shè)方程f(x)＝0的一個(gè)根為a，若把f(x)＝0變形為x＝φ(x)，則迭代形式xn+1＝φ(xn)收斂于a的條件是，如果在a的某一鄰域｜x-a｜＜δ內(nèi)，｜φ′(x)｜＜1，那么以該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為初值的迭代都收斂于a。
　　下面以迭代式(2)為例，證明其收斂性，其他迭代式都可用同樣方法得到證明。
　　

3　迭代初值的確定及實(shí)例計(jì)算

　　雖然迭代式(2)、(3)、(4)、(6)、(8)、(9)、(10)對(duì)公式適用范圍內(nèi)的任意初值均收斂，但初值選取是否恰當(dāng)對(duì)迭代計(jì)算工作量有一定影響。通過深入分析迭代公式各參數(shù)間的關(guān)系，建議對(duì)迭代式(2)、(3)、(4)、(6)均取初值為零，對(duì)迭代式(8)、(9)、(10)則分別取初值如下：
　　

　　實(shí)例計(jì)算：
　　例1，有一梯形渠道，采用小片石干砌護(hù)面(n＝0.02)，設(shè)計(jì)流量Q＝10m3/s，m＝1.5，i＝0.003，要求水深h＝1.5 m，試確定渠底寬度b。
　　解：用迭代式(2)計(jì)算，取初值b(0)＝0，可求得b(1)＝0.60，b(2)＝0.72，b(3)＝0.75，b(4)＝0.75。
取渠底寬度為0.75 m。
　　例2，有一梯形渠道，用大塊石干砌護(hù)面(n＝0.02)，已知b＝7 m，m＝1.5，i＝0.001 5，需要通過流量Q＝18 m3/s，試確定渠道的正常水深h。
　　解：初估水深＜2 m，則b＞2 mh，可用迭代式(3)計(jì)算，取初值h(0)＝0，代入式(3)可求得h(1)＝1.19，h(2)＝1.13，h(3)＝1.15，h(4)＝1.14。
　　取正常水深為1.14 m。
　　例3，有一梯形斷面小河，b＝10 m，m＝1.5，Q＝30m³/s，試確定臨界水深。
　　解：用迭代式(6)計(jì)算，取初值hk(0)＝0，可求得hk(1)＝0.972，hk(2)＝0.924，hk(3)＝0.926，hk(4)＝0.926。
　　取hk＝0.926 m。
　　例4，某梯形渠道，b＝7 m，m＝1，Q＝54.3m³/s，渠中有水躍發(fā)生，已知h′＝0.8 m，試確定h″。
　　解：初估h″＜7 m，則b＞mh″，可用迭代式(9)計(jì)算。
　　　

4　結(jié)語

　　實(shí)例計(jì)算表明，文中給出的迭代方法相對(duì)于目前采用的試算法和圖解法而言，既減少了計(jì)算工作量，又提高了計(jì)算精度，不失為工程設(shè)計(jì)計(jì)算的好方法。
　　雖然求解正常水深和躍后水深的迭代公式均有兩個(gè)，但根據(jù)具體問題和計(jì)算者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，很容易確定采用哪一個(gè)迭代式，即使起初無法判斷，也只需經(jīng)過一次迭代后就能作出正確判斷，使用也是方便的。
　　因迭代計(jì)算是簡單的重復(fù)，經(jīng)常從事明渠水力計(jì)算的工作人員可編制迭代計(jì)算程序，采用計(jì)算機(jī)運(yùn)算，一勞永逸。

參考文獻(xiàn)：

　?。?］清華大學(xué)水力學(xué)教研室編.水力學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，1980.
　?。?］成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室編.水力學(xué)(上冊(cè))［M］.北京：人民教育出版社，1979.
　?。?］武漢大學(xué)，山東大學(xué)編.計(jì)算方法［M］.北京：人民教育出版社，1979.

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　　電　話：(0734)8282020
　　收稿日期：2000-11-21