劉俊新 　 李圭白

　　摘　要：本文分析了濾池氣水反沖洗時池內(nèi)濁度的變化情況，并推導出氣水反沖洗時排水濁度變化的數(shù)學模式。根據(jù)試驗結果確定出去除污物的速度常數(shù)K值，而且提出了最佳的氣水反沖洗歷時。 　　
　　關鍵詞： 濾池；氣水反沖洗；排水濁度；數(shù)學模式

The Mathematical Model of the Changes of Drainage
Turbidity in the Filter during Simultaneous
Air Scour and Water Backwash
Liu Junxin and Li Guibai

　　Abstract This Paper dealt with the changes of drainage turbidity in the filter during simultaneous air scour and water backwash, and a mathematical model of the changes of drainage turbidity was derived. According to the results of tests, the velocity constant K of cleaning the deposited material from the filter media, and optimum backwashing time are proposed.
　　Keywords filter, air scour and water backwash, drainage turbidity, mathematical model.

　　濾池在反沖洗期間，排水濁度是隨時間而變化的。了解它的變化規(guī)律，有助于確定最佳反沖洗歷時。日本的藤田賢二描述了單獨水沖洗時的兩種模型：完全混合式和推移流出式模型^[1]．但是，由于氣泡上浮速度較快，因此我們認為，在每個濾頭上面可分為兩個完全混合區(qū)域，即濾料層和水層區(qū)域。

1．氣水反沖洗時排水濁度的變化規(guī)律

　　為了從理論上推導出排水濁度的變化規(guī)律，將每個濾頭分為一個格，如圖1所示。并　 假設：① 整個濾料層截留雜質(zhì)是均勻的；② 反沖洗時濾料層內(nèi)的水是向上垂直流動；③水層內(nèi)的水是水平流動；④在每個格內(nèi)，濾料層為一個完全混合區(qū)，水層為一個完全混合區(qū)。

圖1 排水模型示意圖

1.1 濾料層流出水的濁度變化

　　設ζ_s——濾層內(nèi)水的濁度(kg/m³)；
　　　W——平均單位體積濾料中含有的雜質(zhì)量(kg/m³)
　　　L_s——濾層厚度(m)； 　　　
　　　μB——環(huán)闖沖洗速度(m/s)；
　　　A——每個格的面積(m²)。
　　 則dt時間從濾層中流出的雜質(zhì)量為ζ_s u_BAdt；濾料層的雜質(zhì)變化為 -AL_sdW
　　　因此
　　 　　　　　　　ζsuBAdt=-ALsdW
　　 　　　　　　　ζs =Ls/uB×[dW/dt]
　　從濾料層流出的雜質(zhì)量應與該時刻濾料層所含有的雜質(zhì)量成比例，設K是一個不隨時間變化的比例常數(shù)，則 　　
　　將上式在t=0時，W=W₀的條件下進行水解，得　　　　　　　　　　
　　式中　Wo——沖洗前平均單位體積濾料中含有的雜質(zhì)量(kg/m³)； 　　　　　　　　　　
　　　　　W=W0e-Kt——反沖洗時間(s)
　　　　　　　　　　　dW/dt=KW 　(2)
　　　　　　　　　　　W0AL=TA 　 (3)
　　設T為反沖洗前平均單位面積濾池所截留的雜質(zhì)量(kg/m³)，則
　　　　　　　　　　　W=W₀e^-Kt
　　　　　　　　　　　W=[T/Ls]e-Kt　　　　　(4)
　　因此

　　　　　　　　　　　ζs=[(KT/uB)]e^{-Kt　　　(5)}

　　由于濾層截留雜質(zhì)是均勻的，所以在同一時間每格濾層濁度變化是相同的。
1.2 水層內(nèi)濁度變化
　　1) 第一格水層內(nèi)濁度變化
　　設ζ_w1一第一格水層內(nèi)的濁度(kg/m³)；
　　　L_w－－－沖洗時水層厚度(m)。
　　dt時間內(nèi)從濾層流入的雜質(zhì)量為t_su_BAdt；dt時間內(nèi)從第一格水層流出的雜質(zhì)量為τ_w1u_BAdt；水區(qū)內(nèi)雜質(zhì)的變化量為AL_wdτ_w1。則

　　(6)

　　將式(5)代人上式，得
　　　　　　　　　　　　　 　[dτ_w1/dt]+[uB/L_w]τ_w1＝[(KT/Lw)]e^-kt　　　　(7)
　　
　　當u_B¹KL_w時，解此方程得

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(8)

　　當u_B=KL_w時，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　(9)

　　2）第二格水層內(nèi)濁度變化

　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(10)

　　設τ_w1為第二格水層內(nèi)水的濁度，則dJ時間內(nèi)從濾層流人的雜質(zhì)量為t_su_BAdt；dt時間內(nèi)從第一格水層流人的雜質(zhì)量為τ_w1u_BAdt；dt時間內(nèi)從第二格水層流出的雜質(zhì)量為2τ_w2u_BAdt；水區(qū)中雜質(zhì)的變化量為AL_wdτ_w2。

　　　　　　　　　　　　　　　　τ_w2=[KT/(uB-KLw)(e^-Kt-e^{-(uB/Lw)t　　　　　　(11)}

　　當u_B≠KL_w時，將式(5)和式(8)代人上式可解得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)

　　當u_B=KL_w時，將式(5)和(9)代人式(10)可解得
　　3) 第三格水層內(nèi)濁度變化
　　設τ_w3為第三格水層內(nèi)水的濁度，則dt時間內(nèi)從濾層流入的雜質(zhì)量為t_su_BAdt；dt時間內(nèi)從第二格流出的雜質(zhì)量為2τ_w2u_BAdt；dt時間內(nèi)從第三格流出的雜質(zhì)量為3τ_w3u_BAdt；水區(qū)中雜質(zhì)的變化量為AL_wdτ_w3。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)　　　

　　當u_≠KL_w時，將(5)和(11)代入上式可解得

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(14)

　　　　　　　　　　　　　　　τ_w3=[KT/Lw]te^-Kt=τ_w1　　　　　　　　　　　　　　　(15）

　　當u_B=KL_w時，將(5)和(12)代人(13)可解得
　　同理可得出

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)

　　由以上的分析中可看出，氣水反沖洗時，整個水層內(nèi)濁度變化規(guī)律是一樣的，因此氣水反沖洗可認為是完全混合式排水方式。

2．最大排水濁度及其出現(xiàn)時間的確定

　　由可求出dτw/dt=0出現(xiàn)最大濁度的時間和最大濁度。

　　　　　　　　　

　　當u_B≠KL_w時，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　當u_B=KL_w時，　　τw=[KT/Lw]te^-Kt 　　　　　　　　(18)

　　　　　　　　　　tmax=1/K 　　　　　　　　　　 　　(19)

3．K值的確定

　　在式(2)中，K是一個不隨時間變化的常數(shù)。但是，K值是受到反沖洗方式和反沖洗速度影響的。在單獨水沖洗時，藤田賢二建議采用K=9.0´10³左右^[1]。在氣水同時沖洗時，氣水產(chǎn)生的速度梯度以及顆粒的碰撞次數(shù)都遠大于單獨水沖洗時產(chǎn)生的速度梯度和碰撞次數(shù)，因此，氣水同時沖洗時將顆粒上的污物剝落下來的速度也大于單獨水沖洗時的速度。這時若再采用K=9.0´10³來計算氣水同時沖洗的t_max和t_wmax。將會引起較大的誤差。因此，我們用濾池模型進行了過濾一反沖洗試驗，模型的長´寬´高=2.0´ 0.12´1.25m。試驗時，裝置內(nèi)砂濾料厚度為40cm左右，粒徑為0.5~1.2mm，采用氣水反沖洗。

表1 氣水反沖洗試驗結果統(tǒng)計表

序號

單位面積濾池截留雜質(zhì)量T(g/m)

沖洗時砂面上水深L_w(m)

水反沖洗速度u_B(m/s)

氣反沖洗強度（L/s.m²）

排水最大濁度t_wmax (g/m³)

最大濁度出現(xiàn)時間t_max (s)

K值

1

428.7

0.603

0.0051

9.57

560

30

0.094

2

610.8

0.603

0.0050

9.00

800

30

0.093

3

487.4

0.603

0.0051

9.74

632

30

0.090

4

605.8

0.607

0.0054

12.61

700

60

0.054

5

649.5

0.570

0.0055

12.17

760

45

0.048

6

556.1

0.570

0.0055

12.17

720

45

0.075

7

501.5

0.583

0.0055

12.30

640

30

0.076

8

562.9

0.580

0.0055

12.17

736

60

0.084

9

534.4

0.590

0.0055

10.22

664

30

0.070

　 續(xù)表　　　　　　　表1 氣水反沖洗試驗結果統(tǒng)計表　

序號

單位面積濾池截留雜質(zhì)量T(g/m)

沖洗時砂面上水深L_w(m)

水反沖洗速度u_B(m/s)

氣反沖洗強度（L/s.m²）

排水最大濁度t_wmax (g/m³)

最大濁度出現(xiàn)時間t_max (s)

K值

10

451.1

0.577

0.0055

10.35

560

30

0.064

11

507.0

0.570

0.0054

11.09

640

30

0.065

12

501.0

0.573

0.0054

10.78

592

45

0.051

13

446.5

0.577

0.0054

11.30

600

45

0.094

14

335.3

0.576

0.0054

11.30

384

30

0.045

15

295.8

0.572

0.0054

11.30

360

45

0.056

　　表1為氣水反沖洗試驗結果統(tǒng)計表，其中K值是將試驗數(shù)據(jù)代人式(18)中計算出來的。根據(jù)各組試驗結果，K值在0.045~0.094之間，其平均值為0.071。因此，對于氣水反沖洗濾池，可選用K=0.071左右。

4．反沖洗結束時間及最終濁度

4.1 反沖洗結束時間
　　反沖洗時間是濾池的重要的操作指標之一。對于單獨用水反沖洗，我國設計規(guī)范^[2]中已有具體的規(guī)定，而對于氣水反沖洗時間卻沒有規(guī)定，主要是根據(jù)試驗來確定。為了能從理論上來確定氣水反沖洗的結束時間，以便于設計，我們根據(jù)前面推導出的排水濁度變化規(guī)律求出排出雜質(zhì)量的90％和99％所需要的時間。
　　從0時刻至t時刻之間所排出的雜質(zhì)量為
　　設排出截留雜質(zhì)量的90％和99％的時間分別為，t₉₀和t₉₉，它們可分別由下面兩式求出：

　　　　　　　　　　　　=0.99AT

　　當u_B≠KL_w時，可得

　　　　　　　　　　　　　　　?。?2)

　　當u_B=KL_w時，可得

　　　　　　　　　　　[(1/K)+t₉₀]e^-kt90=[1/K-0.9(Lw/uB)] 　　　　(23)
　　　　　　　　　　　[(1/K)+t₉₉]e^-kt99=[1/K-0.9(Lw/uB)]

　　將K=0.071代入式（21）~（24），并以L_w/u_B和t為橫、縱坐標繪圖，結果見圖2。對于某一濾池，L_w/u_B是一定的，從圖2中可查出該濾池氣水反沖洗時t_max，t₉₀和t₉₉的值。
4.2 最終濁度
　　將K=0.071以及t₉₀或t₉₉代人式(8)和(9)，可求出排出截留雜質(zhì)的90％或99％時的濁度t_w90或t_w99，計算結果列于表2。從表2中可以看出，理論值與實測值基本符合，只是t_w90和t_w99的理淪值略低于實測值，對于t_max，有個別的實測值與理論值相差較大，這是因為在試驗中有一部分試驗的取樣間隔為15s，另一部分取樣間隔為30s，而反沖洗開始時排水濁度變化迅速，并很快達到最大值，因此由于取樣間隔造成的誤差使個別的實測值與理論值相差較大。
4.3 反沖洗結束時間的確定
　　反沖洗結束時濾池內(nèi)水的濁度是控制反沖洗時間的重要因素，濁度過高會使初濾水水質(zhì)很差。為了能準確地確定反沖洗結束時間和該時濾池內(nèi)水的濁度，我們將表2中第7，11，12三組試驗條件相似的實驗數(shù)據(jù)繪于圖3中，并將K=0.071(氣水同時沖洗時的K值)和K=9.0×10^-3(單獨用水沖洗時的K值)分別代人式(8)，所得t_w—t關系曲線也繪于圖3中。
　　從圖3中可以看出，當反沖洗時間低于1 80s時，氣水同時反沖洗的理論值與實測值基本符合；當反沖洗時間在210s至390s之間時，實測值逐漸偏離氣水同時沖洗理論值，介于氣水同時沖洗理論值與單獨水沖洗完全混合式理論值之間；當反沖洗時間大子420s以后，實測值與單獨水沖洗理論值相符合。上面的現(xiàn)象說明，當，t<180s時，氣體將濾料上的污物剝落為主要因素，而水向濾池外輸送剝落下來的污物相對來說是次要的。氣泡從濾層進入水層時，尾跡也可將部分剝落下來的污物帶入水層中，但要排出濾池，則需要水的作用。因此，在很短的時間內(nèi)既可達到t_wmax。當t=210~390s時，由于濾層內(nèi)污物的減少，部分氣體開始做無用功，水向濾池外輸送污物逐漸變得重要。當t>420s時，氣體基本不起作用，而主要靠水向濾池外輸送雜質(zhì)，因此，此時實測值與單獨水沖洗理論值相符合。

表2 理論與實測值對照表

序號

T

(g/m3)

L_w

(m)

u_B

(m/s)

氣沖強度

(L/s.m²)

t_max(s)

t_wmax(g/m³)

t₉₉

(s)

t₉₉(g/m³)

t₉₀

(s)

t_w90(g/m³)

實測

計算

實測

計算

實測

計算

實測

計算

實測

計算

實測

1

428.7

0.603

0.0051

9.57

30

34

560

533

559

30

7

287

108

70

2

610.8

0.603

0.0050

9.00

30

34

800

762

570

33

10

293

160

103

3

487.4

0.603

0.0051

9.74

30

34

634

606

560

30

8

287

140

80

4

605.8

0.607

0.0054

12.61

60

33.4

700

741

533

38

10

274

150

101

5

649.5

0.570

0.0055

12.17

45

32.5

760

832

492

30

11

254

192

116

6

556.1

0.570

0.0055

12.17

45

32.5

720

713

492

30

10

254

200

99

7

501.5

0.583

0.0055

12.30

30

32.8

640

631

503

(465)42

9

259

110

85

8

562.9

0.580

0.0055

12.17

60

32.7

736

712

501

(465)53

10

258

180

98

9

534.4

0.590

0.0055

10.22

30

32.9

664

666

509

(465)81

9

262

200

90

10

451.1

0.577

0.0055

10.35

30

32.7

560

573

498

(465)34

8

257

140

80

11

507.0

0.570

0.0054

11.09

30

32.7

640

652

501

(465)55

9

258

155

88

12

501.0

0.573

0.0054

10.78

45

32.8

592

642

504

(465)50

9

260

120

90

13

446.5

0.577

0.0054

11.30

45

32.9

600

569

507

(450)42

8

261

88

77

14

335.3

0.576

0.0054

11.30

30

32.9

384

427

506

(465)38

6

261

87

59

15

295.8

0.572

0.0054

11.30

45

32.8

360

380

503

(450)43

5

259

78

52

　　　　　注：7~15組試驗的反沖洗時間為465s，括號右邊的數(shù)值是與括號內(nèi)時間相對應的濁度。
　　由以上的分析可知，氣水同時反沖洗時間最好控制在5~6min左右。

5．結論

　　根據(jù)理論推導及試驗結果我們認為，濾池氣水反沖洗時排水方式為完全混合式，將濾料上的污物剝落下采的速度大于單獨用水反沖洗時的速度，氣水反沖洗時的K值應為0.071左右。氣水同時沖洗時間最好控制在5~6 min左右，然后再用水單獨沖洗1~2 min。水沖洗的作用主要是：① 輸送污物；② 排除濾層內(nèi)和配氣室內(nèi)的氣體；③ 對于雙層濾料，可使濾料間分層。

參 考 文 獻

　　1.藤田賢二著，于泮池譯．有關快濾池沖洗的各部分的水力學研究(原載日本《水道協(xié)會雜志》，1972.8)
　　2.室外給水設計規(guī)范(TJl3—74)．中國建筑工業(yè)出版社，1974