郭智 鄭毅
天津市自來(lái)水集團(tuán)有限公司

　　隨著優(yōu)化數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在專業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，往往由于資金或其它實(shí)際條件等原因的限制，人們不可能靠試驗(yàn)獲得所有數(shù)據(jù)，而只能在少量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型來(lái)獲得所需數(shù)據(jù)。

1、模型校核問(wèn)題描述

　　給水管網(wǎng)系統(tǒng)用模型表示出來(lái)，用于現(xiàn)狀分析、優(yōu)化調(diào)度及改擴(kuò)建規(guī)劃等。在模型使用之前，必須確保模型在一定精度范圍內(nèi)與實(shí)際管網(wǎng)相吻合，這一過(guò)程稱為模型校核。Shamir和Howard （1977）認(rèn)為：校核包括確定系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，確保數(shù)據(jù)輸入后得到真實(shí)的結(jié)果。Cesario和Davis（1984）給出了一個(gè)模型校校的定義：校核就是一個(gè)微調(diào)模型直到模型在一定精度范圍內(nèi)能仿真某一工況卞的實(shí)際管網(wǎng)特性（如：最高時(shí)）的過(guò)程。Walski（1983）給校核下了一個(gè)準(zhǔn)確的定義：校核是一個(gè)分兩步走的過(guò)程，包括（1）比較已知運(yùn)行條件下（包括水泵運(yùn)行工況、水池水位、減壓閥的狀態(tài)）壓力和流量的模擬值與測(cè)量值；（2）調(diào)整模型輸入數(shù)據(jù)，使得模擬值與觀測(cè)值在一定精度范圍內(nèi)吻合，模型的合理性判斷依據(jù)是測(cè)試點(diǎn)水頭的模擬值和觀測(cè)值之間的偏差。
　　總體來(lái)說(shuō)，模型校核就是依靠城市給水管網(wǎng)系統(tǒng)監(jiān)測(cè)點(diǎn)信息與模擬信息的吻合程度調(diào)整節(jié)點(diǎn)流量、C值或其他參數(shù)反復(fù)平差計(jì)算。

2、校核模型的建立

　　A模型的構(gòu)思
　　無(wú)論采用什么方法來(lái)消除測(cè)壓點(diǎn)處的壓差，都應(yīng)使被調(diào)整值盡可能符合實(shí)際情況為前提。如果假設(shè)管網(wǎng)水力計(jì)算中的公式和管網(wǎng)簡(jiǎn)化圖形是準(zhǔn)確的，那么通過(guò)分析可知，產(chǎn)生壓力不一致的原因必然是節(jié)點(diǎn)流量q和摩阻系數(shù)S不準(zhǔn)確導(dǎo)致的。也就是說(shuō)，測(cè)壓點(diǎn)處壓力的計(jì)算和實(shí)測(cè)值的差值是與各節(jié)點(diǎn)流量和各管段摩阻有關(guān)。各節(jié)點(diǎn)流量和各管段摩阻的調(diào)整值本質(zhì)上應(yīng)該是由它們的計(jì)算值和實(shí)際值的差異決定的。只有這樣的調(diào)整才能既消除測(cè)壓點(diǎn)處的壓差，同時(shí)又符合管網(wǎng)的實(shí)際情況，這是本文對(duì)給水管網(wǎng)進(jìn)行模型校核的基本出發(fā)點(diǎn)。
　　從另一個(gè)角度看，不論是用公式計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)流量，還是用試驗(yàn)得到的阻力系數(shù)C值，都是在前人的實(shí)踐中反復(fù)摸索或反復(fù)試驗(yàn)中得到的。從這個(gè)角度看，對(duì)它們的調(diào)整值并不是越多越好，恰恰相反，而是應(yīng)盡量調(diào)整得少而效果最好。
　　另外，考慮到實(shí)際工作中實(shí)測(cè)壓力時(shí)的具體條件和具體情況，本文認(rèn)為壓力是實(shí)測(cè)，但是也有一定的誤差，所以在進(jìn)行復(fù)核計(jì)算時(shí)，當(dāng)測(cè)壓點(diǎn)處的壓差降到一定限度之內(nèi)時(shí)，計(jì)算便停止了。若要完全消除，顯然沒(méi)有實(shí)際意義。
B 模型的建立
　　在進(jìn)行了管網(wǎng)的水力計(jì)算后，測(cè)壓點(diǎn)處的實(shí)測(cè)值和計(jì)算值將有一定壓力差，復(fù)核計(jì)算的數(shù)學(xué)模型的最終目的，是在盡可能符合實(shí)際情況的前提卜，將測(cè)壓點(diǎn)處壓差處壓差降到一定限度以內(nèi)。另外，調(diào)整q和C后，管網(wǎng)水平平衡必須滿足。
　　為減少變量，同 年代同一管徑的管段采用同一C值?；谝陨戏治龊妥钚《嗽?，提出單負(fù)荷管網(wǎng)模式復(fù)核的數(shù)學(xué)模型：

　　　　　　　　　　

　　目標(biāo)函數(shù)中；
　　D₁——所有節(jié)點(diǎn)流量的總系數(shù)，計(jì)算時(shí)取某一常數(shù)；
　　D₂——所有C值的總系數(shù)，計(jì)算時(shí)取某一常數(shù)；
　　K_qi——第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量加權(quán)系數(shù)，一般取1；
　　K_ci——第i種類型C值的加權(quán)系數(shù)，般取1；
　　q_i——節(jié)點(diǎn)流量的當(dāng)前值；
　　q_i⁰——按節(jié)點(diǎn)流量公式計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)流量，常量：
　　c_i——管段摩阻當(dāng)前值，同年代同管徑的管段采用同一個(gè)值，計(jì)算過(guò)程為變量；
　　C_i⁰——按試驗(yàn)得到的阻力系數(shù)，常量。
　　約束條件中(1)為節(jié)點(diǎn)方程組，
　?。?）中：H_k為第k個(gè)測(cè)壓點(diǎn)的模擬值；
　　　　　　H_k測(cè)為第k個(gè)測(cè)壓點(diǎn)的測(cè)量值；
　　　　　 ε為計(jì)算值和測(cè)量值的允許限度；
　?。?）中：n為測(cè)壓點(diǎn)個(gè)數(shù)。
　　模型的意義在于：在保證水力平衡條件下，在各節(jié)點(diǎn)流量和管段摩阻的變化成調(diào)整最小的情況下，使被測(cè)壓點(diǎn)處壓差．降到允許限度以內(nèi)?！?br> 　　C 模型的簡(jiǎn)化
　　從以上可知，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都出現(xiàn)了非線性的情況，是一個(gè)帶約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，求解過(guò)于復(fù)雜。為簡(jiǎn)化，先將問(wèn)題化為無(wú)約束問(wèn)題。將（2）代入（1）；將（3）采用外懲罰函數(shù)的辦法，將各個(gè)等式乘以一個(gè)相應(yīng)的罰出于，加到目標(biāo)函數(shù)中去，這樣，就轉(zhuǎn)化為一個(gè)求無(wú)約束極值問(wèn)題了。其模型如下：

　　　　
　中：D3———罰函數(shù)因子；
　　　　kHk——各測(cè)壓點(diǎn)處的加權(quán)系數(shù)。
　　1）模型中的參數(shù)分析
　　D₁可以在總體上控制節(jié)點(diǎn)流量的變化；D₂可以在總體上控制管段摩阻的變化。kqi，kci無(wú)特殊情況一般取1；kHk可以控制不同測(cè)壓點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)。由于q和c的變化在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上，因而D₁、D₂取同一數(shù)量級(jí)。應(yīng)當(dāng)注意的是，個(gè)別節(jié)點(diǎn)的節(jié)省流量等于0或趨近于0時(shí)，應(yīng)改為絕對(duì)值的平方差，而非相對(duì)值。
　　2）模型的求解
　　對(duì)這類復(fù)雜問(wèn)題的求解，常需要使用搜索法，并要進(jìn)行若干次迭代、解非線性極值問(wèn)題的迭代法大體上可分為兩類：第一類要用到函數(shù)的數(shù)，由于用到了函數(shù)的解析性質(zhì)，故稱之為解析法；第二類僅用到函數(shù)值而不要求函數(shù)的解析性質(zhì)，稱之為直接法。一般
來(lái)說(shuō)，直接法的收斂較慢，只在變量較少時(shí)才用。
　　這里采用共軛梯度法，共軛梯度法是一個(gè)二次收斂算法，在函數(shù)二次性較強(qiáng)的區(qū)域內(nèi)有較好的效果。由于問(wèn)題的不適定性，將C和q值單獨(dú)調(diào)整。
　　a．共軛梯度法簡(jiǎn)介
　　共軛梯度法的最大優(yōu)點(diǎn)是在極值點(diǎn)附近能加快收斂的速度，它是共軛方向法的一種。
　　為了既能避免 Hesse矩陣的計(jì)算又能生成共軛方向，人們提出了多種，其中Fletcher和Reeves提出的方法，簡(jiǎn)稱為F-R法，使用方便且有效，故本文采用F-R法。關(guān)于F-R法的推導(dǎo)在許多書(shū)籍上都有介紹，本人在此就不陳述了。只將其結(jié)論寫(xiě)出：共軛方向?yàn)樵摯蔚呢?fù)梯度方向與上次搜索方向的線性組合。即：

　　　　　　　P^（i+1)=-G⁽ⁱ⁺¹⁾+B⁽ⁱ⁾P⁽ⁱ⁾
　　　　　　　其中：B(i)=[G^（i+1)]T.G^（i+1)/[G^（i)].G^（i)) 　　i=0,1,2,...

　　在共軛梯度法進(jìn)行迭代的第一步，取負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颉＜碨（0）=-f(X⁽⁰⁾),而以后各步的搜索方向?yàn)樯洗嗡阉鞯墓曹椃较?。共軛梯度法的迭代步驟如下：

　　　　<1>給定X^（0），并令S^（0）=-f(X^（0）);
　　　　<2>對(duì)于K=0，1，2...,n-1
　　　　i.若‖f(X^(k)<=X^(k))‖＜ε，則終止迭代，否則
　　　　ii.令X^（K+1）=X（k）+λk.S^(k)
　　　　　　式中λk與f(X^(k)+λS^（k））取極小值
　　　　iii.當(dāng)K<n-1時(shí)，令S^(k+1)=-f(X^(k-1)+Bk.S^{(k)
　　　　　　　<3> 　以X（k=1)代替X（k），并回到第<1>步。}
　　 若n維目標(biāo)函數(shù)為二次函數(shù)，則利用共軛梯度法，理論上只要經(jīng)過(guò)n次迭代即可達(dá)到最小點(diǎn)。但在實(shí)際計(jì)算中，由于舍入誤差的原因，總要進(jìn)行n次以上的迭代才能得到滿意的結(jié)果。對(duì)于非二次函數(shù)，迭代的次數(shù)當(dāng)然更多。但n維問(wèn)題的共軛方向最多只有n個(gè)，在迭代了n次以后，繼續(xù)進(jìn)行是沒(méi)有意義的。同時(shí)，舍入誤差的積累也越來(lái)越多，對(duì)收斂不利。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，當(dāng)計(jì)算進(jìn)行了n次得到X（n）后，采取重新開(kāi)始迭代的方法。由于算法的第一個(gè)搜索方向?yàn)樽钏傧陆捣较颍虼擞兄谕黄颇繕?biāo)函數(shù)的非二
次性，同時(shí)也可減少誤差的積累。
　　一維搜索時(shí)采用伸縮法。
　　延伸收縮法-維搜索簡(jiǎn)介：

　　如1所示，設(shè)f[x]為x的一元函數(shù)，設(shè)一維搜索的起始點(diǎn)為X（0）=Q[i]，則搜索方向上的其余各點(diǎn)可記為X＝Q[i+∑k]。其中k＝1，2，4，8，…稱為加倍步長(zhǎng)因子。
　　先計(jì)算f[Q[i]]、f[Q[i＋1]]，若f[Q[i]＞f[Q[i+1]]，且X=Q[i+1]∈D，則將步長(zhǎng)加長(zhǎng)兩倍，計(jì)算f[Q[i＋3]]，若 f[Q[i＋1]]＞f[Q[i+3]]，且X=Q[i+3]∈D，則將步長(zhǎng)再加長(zhǎng)兩倍，并重復(fù)前述運(yùn)算，否則，按以下規(guī)則收縮。
　　設(shè)當(dāng)前的停留點(diǎn)為X，此點(diǎn)已越出可行域外，或者目標(biāo)函數(shù)已比前一點(diǎn)增加，k(r)是最后一次搜索的步長(zhǎng)因子。上標(biāo)r為搜索延伸的次數(shù)，則當(dāng)前離散點(diǎn)的下標(biāo)為

　　　　　　　　

　　收縮離散點(diǎn)可表示為

　　　　　　　　

　　式中 N——k^（r-1)和k^(r)間隔的收縮次數(shù)；
　　　　　I<a>——取a的整數(shù)部分。
　　在收縮時(shí)每收縮一次后的新點(diǎn)均需檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)和該點(diǎn)是否可行，－R兩者均能滿足時(shí)，則停止收縮。如圖1所示，r＝4，k⁽⁴⁾＝8，N=2，k^(r)階段的收縮終止點(diǎn)為x＝Q[i+9]。收縮過(guò)程如圖中虛線所示。
　　在得到k（r)階段的收縮終止點(diǎn)后，再?gòu)拇它c(diǎn)開(kāi)始重復(fù)前述延伸收縮運(yùn)算。
　　延伸收縮的終止準(zhǔn)則是，當(dāng)收縮終止點(diǎn)與收縮區(qū)間的起始點(diǎn)重合時(shí)，離散一維搜索結(jié)束。若終止點(diǎn)異于X（0），則離散一維搜索成功，否則認(rèn)為搜索失敗，這時(shí)就取X^（0）為當(dāng)前一維搜索的終止點(diǎn)。
　　如果開(kāi)始時(shí) f[Q[i]]＜f[Q[i+1]，且x＝Q[i+1]∈D，則將k變號(hào)，即按X=Q[i-∑k]方向搜索，其余步驟相同。
　　如果是多元離散變量的函數(shù)，按式（4）和式（5）進(jìn)行延伸收縮的一維搜索時(shí)，沿-M方向只對(duì)Xd分量進(jìn)行搜索。
　　b．算法在本模型中的應(yīng)用
　　　　流程圖

3、模型校核應(yīng)用
　　天津市供水管網(wǎng)115個(gè)壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)24小時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)24小時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)誤差 ＜1m ＜2m ＜3m 數(shù)據(jù)總數(shù) 1766 2488 2760 百分比 64.0% 88.0% 100%

　　13個(gè)流量監(jiān)測(cè)點(diǎn)24小時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 流量監(jiān)測(cè)點(diǎn)24小時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

流量監(jiān)測(cè)點(diǎn)誤差 ＜5%管段流量 ＜10%管段流量 ＜12%管段流量 數(shù)據(jù)總數(shù) 187 309 312 百分比 60% 99% 100%

　　流量誤差大于川％的均為凌莊五干，該干管管段流量小于天津市用水量的1.5%。這說(shuō)明按百分比誤差來(lái)說(shuō)其誤差較大，但按實(shí)際誤差值來(lái)說(shuō)，其設(shè)并不大。
　　水廠出水量24小時(shí)計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表3。

表3 水廠出水量24小時(shí)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

計(jì)算值與測(cè)定值的差值 ＜1%水廠出水量 ＜2%水廠出水量 ＜6%水廠出水量 芥園 41.7% 79.2% 100% 新開(kāi)河 37.5% 75.0% 100% 凌莊 45.8% 83.3% 100%

　　由上可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)模量校核，壓力和流量誤差，均在給定允許范圍之內(nèi)，模型完全可以用于實(shí)際工程應(yīng)用。
模型校核是管網(wǎng)建模的關(guān)鍵一環(huán)，也是比較復(fù)雜、比較困難的一環(huán)；問(wèn)時(shí)也是對(duì)模型的實(shí)用性影響最大的一環(huán)。模型校核過(guò)程同時(shí)也是對(duì)管網(wǎng)圖形庫(kù)、數(shù)據(jù)庫(kù)的進(jìn)一步校核、檢驗(yàn)修改完善的過(guò)程。模型校核過(guò)程還是一個(gè)不斷反復(fù)更新完善的過(guò)程。對(duì)于大津市這樣的大型供水管網(wǎng)系統(tǒng)，每年都新增大量的管線，去掉一些舊管線、管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，必須及時(shí)地反映到模型中。另外，水源的變化、大量戶位置的變化，用戶用水模式的變化，管網(wǎng)操作條件的變化等，都應(yīng)在模型中做相應(yīng)的修改，經(jīng)常進(jìn)行模型的維護(hù)、更新和擴(kuò)展工作。

4、結(jié)論

　　在數(shù)據(jù)精度分析的基礎(chǔ)上，以最優(yōu)化方法作為模型校核的基本方法。通過(guò)簡(jiǎn)化校核工況、調(diào)整管道阻力系數(shù)及節(jié)點(diǎn)流量闡明了宏觀與微觀相結(jié)合模型校核的過(guò)程與意義。并以天津市供水管網(wǎng)128個(gè)測(cè)試點(diǎn)的實(shí)測(cè)壓力與流量時(shí)間序列數(shù)據(jù)，對(duì)新建立的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了校核，達(dá)到了精度的要求。