任伯幟1，沈良峰1，許仕榮2，王濤2，謝社平2?
( 1.湘潭工學(xué)院土木工程系，湖南湘潭411201； 2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410082)

　　摘　要： 在修編長(zhǎng)沙市暴雨強(qiáng)度公式的實(shí)踐中，通過(guò)對(duì)現(xiàn)有各種求解城市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)的計(jì)算方法分析，提出應(yīng)用帶因子—迭代法求解。結(jié)果表明，該法不但較好地解決了非線性方程線性化時(shí)易出現(xiàn)的病態(tài)問(wèn)題，而且放寬了迭代初始值的選擇范圍，迭代收斂性較好、求解過(guò)程穩(wěn)定、擬合精度較高，實(shí)用可行。
　　關(guān)鍵詞：城市排水；暴雨強(qiáng)度公式；帶因子—迭代法；非線性方程；參數(shù)估計(jì)
　　中圖分類(lèi)號(hào)：TU823.6
　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C
　　文章編號(hào)：1000-4602(2002)02-0063-03

1 模型的建立

　　曲線擬合或科學(xué)試驗(yàn)中常見(jiàn)下列非線性方程組：?
　　fj(xj，yj，zj，…，ai)=0(i=1,2,3，…，m;j=1,2 ,3,…，N)　　　(1)?
　　其中fj(j=1,2,3,…，N)是m個(gè)參變量ai(i=1,2,3,…，m)的非線性函數(shù)。(xj,yj,zj)是通過(guò)N次試驗(yàn)觀測(cè)所得的N組已知數(shù)據(jù)。在求解式(1)非線性方程組的參數(shù)ai時(shí)，常化為多元函數(shù)的極小值問(wèn)題，即求與之等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)的極小值問(wèn)題，從而確定參數(shù)ai：?

　　用矩陣與向量記號(hào)表示：X=［x1,x?2,x?3,…，xN］^T，Y=［y1,y2,y3,…，yN］^T?
　　　　　　　　　　　　　Z=［z1,z2,z3,…，zN］^T，A=［a1,a2,a3,…，am］^T
　　則有：F(X，Y，Z，A)=［f1(X,Y,Z,A),f2(X,Y,Z,A),f3(X,Y,Z,A),…，fN(X,Y,Z,A )］^T
　　則式(1)可改成：?
　　　　　V(X,Y,Z,A)=F(X,Y,Z,A)T?
　　　　　F(X,Y,Z,A)=‖F(xiàn)(X，Y，Z，A)‖²　　(3)?
　　為使式(2)、(3)有極小值，則需：

　　即有：V(X,Y,Z,A)=2DF(X,Y,Z,A)^T　　F(X,Y,Z,A)=0　　(4)

　　因F(X，Y，Z，A)是關(guān)于A的非線性函數(shù)，為此方程(4)是一個(gè)非線性方程組，一般難于直接求解，常采用逐次線性化處理。即設(shè)A0為解的初始近似值，ΔA為精確值與初始值之差，則有：A=A0+ΔA，將F(X，Y，Z，A)在A0附近Taylor展開(kāi)，并略去ΔA的二次及二次以上各項(xiàng)得：?
　　F(X，Y，Z，A)=F(X,Y,Z,A0)+DF(X,Y,Z,A0)ΔA　　　　　(5)?
　　將式(5)代入式(3)，再由式(4)得：?
　　　　DF(X，Y，Z，A₀)T DF(X，Y，Z，A0) ?
　　　　ΔA+DF(X，Y，Z，A0)TF(X,Y, Z,A0)=0　　　　　　　(6)?
　　由于F(X，Y，Z，A)復(fù)雜的非線性，由Taylor展開(kāi)線性化后得到的線性方程組易出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，給式(6)求解帶來(lái)困難，為此引進(jìn)阻尼因子u，從而增大［DF(X，Y，Z，A₀)TDF(X， Y，Z，A₀)］的主對(duì)角元素的值，則式(6)變?yōu)椋?
　　DF(X，Y，Z，A₀)TDF(X，Y，Z，A₀)+uIm］ΔA+DF(X,Y,Z,A₀)T F(X，Y，Z，A₀)=0　　(7)?
　　式中Im——m×m階單位矩陣?

　　在迭代求解式(7)時(shí)，為放寬對(duì)初始值A(chǔ)0的選擇，使迭代收斂或加速收斂，引入步長(zhǎng)因子ω，即解方程組(7)得出的ΔA，不是直接由A=A₀+ΔA計(jì)算第一次近似值，而是把ΔA作為尋查方向，即改為：
A=A?0+ωΔA　　　　　　(8)?
　　其中步長(zhǎng)因子ω的選擇應(yīng)滿足：?
V(X，Y，Z，A?0+ωΔA)＜V(X，Y，Z，A?0)　　　　　(9)?
　　則由式(7)、(8)、(9)及求解參數(shù)的精度要求(max[DD(][]l≤i≤m[DD)]｜a_i-a_i⁽⁰⁾｜=max｜ΔA｜≤ε，其中ε為求解精度)構(gòu)成了帶因子—迭代法求解參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。?

2　參數(shù)的求解

　　將i—t—p關(guān)系數(shù)據(jù)表中不同歷時(shí)t和不同重現(xiàn)期p對(duì)應(yīng)的不同雨強(qiáng)i組成N組(ij,tj,pj )已知數(shù)據(jù)組(j=1,2,3,…，N；N=9個(gè)歷時(shí)×11個(gè)重現(xiàn)期=99)，則將城市暴雨強(qiáng)度公式變形得下列方程組：?

　　即：fj(ij,tj,pj,A1,b,c,n)=0(j=1,2,3,…，N)　　　　(10)?
　　式(10)中函數(shù)fj是關(guān)于4個(gè)參數(shù)(A1，b,c,n)的非線性函數(shù)，(ij,tj,pj)為N組已知數(shù)組。對(duì)函數(shù)fj中4個(gè)參數(shù)分別求導(dǎo)得：?

　　選擇迭代初值A(chǔ)0，由帶因子—迭代求參數(shù)模型按圖1進(jìn)行迭代求解。當(dāng)max｜ΔA｜≤ε時(shí)，則輸出待求參數(shù)A1、b、c、n。?
ε取值范圍一般為10^-3～10^-5；μ初值賦為0.01；ω初值賦為1；已知數(shù) 據(jù)組總數(shù)N=99；m=4；迭代次數(shù)LP初值賦為零；輸出參數(shù)LF=0表示計(jì)算成功并輸出參數(shù)，LF= -1表示迭代次數(shù)大于假定的maxLP時(shí)仍未收斂，可再放大maxLP進(jìn)行迭代，LF=-2表 示u=100、ω=0，無(wú)法迭代下去(可能是因?yàn)榫纫筇?，改變精度要求即可繼續(xù)迭代。

3　應(yīng)用實(shí)例

　　湖南省長(zhǎng)沙市有連續(xù)25年(1974年—1998年)的雨量資料，每場(chǎng)暴雨取5、10、15、20、30、4 5、60、90、120min9個(gè)歷時(shí)段的最大降雨強(qiáng)度，每年各歷時(shí)取6個(gè)雨強(qiáng)最大值；不分年次先后按文獻(xiàn)^［6］的從大到小排序，選取其中4倍年份數(shù)的前面樣本作為統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)資料，按文獻(xiàn)^［6］的計(jì)算方法得出長(zhǎng)沙市的i—t—p關(guān)系數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上推求暴雨公式參數(shù)。
　　通過(guò)各種方法的應(yīng)用程序計(jì)算得出的長(zhǎng)沙市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表1。 表1　不同方法對(duì)長(zhǎng)沙市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比 計(jì) 算 方法 暴雨強(qiáng)度公式參數(shù) V A₁ b c n CRE編制法 11.511 12.643 0.385 0.654 0.3071 單純加速法 11.782 12.730 0.389 0.665 0.2954 高斯—牛頓法 12.05 12.935 0.397 0.676 0.2641 迭代法 12.483 13.012 0.403 0.680 0.2336 麥夸爾特法 12.674 13.263 0.406 0.684 0.2053 帶因子—迭代法 12.877 13.275 0.410 0.685 0.1459

　　從表1可知，在相同的i—t—p關(guān)系數(shù)據(jù)表及比較條件下，用帶因子—迭代法推求城市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)優(yōu)于其他方法，此法推求的長(zhǎng)沙市暴雨強(qiáng)度公式為：?
?　i=[12.877(1+0.410 lgp)］/［(t+13.275)0.685］

4 結(jié)語(yǔ)

　　應(yīng)用帶因子—迭代法推求城市暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)的結(jié)果表明該法是合理可行的，它具有如下特點(diǎn)：?
　?、佥^好地克服了非線性方程線性化時(shí)易出現(xiàn)的病態(tài)問(wèn)題，使迭代求解過(guò)程穩(wěn)定；?
　?、谳^好地解決了現(xiàn)有各種方法中迭代初始值選擇的局限性，放寬了初始值的選擇范圍，且能做到迭代收斂或加速收斂；?
　?、蹜?yīng)用實(shí)例表明該法優(yōu)于現(xiàn)有各種方法，且精度滿足現(xiàn)行規(guī)范的要求。

參考文獻(xiàn)：

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　　電　話：(0732)8290041?
　　收稿日期：2001-06-31