劉毅,陳吉寧,杜鵬飛
(清華大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程系環(huán)境模擬與污染控制國(guó)家重點(diǎn)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

　　摘要:模型參數(shù)優(yōu)化是通過(guò)極小化目標(biāo)函數(shù)使得模型輸出和實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)之間達(dá)到最佳的擬合程度. 由于環(huán)境模型本身的復(fù)雜性,常規(guī)優(yōu)化算法難以達(dá)到參數(shù)空間上的全局最優(yōu). 近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算效率的快速提高,直接優(yōu)化方法得到了進(jìn)一步開(kāi)發(fā)與廣泛應(yīng)用. 本文比較了CRS、SCE UA、SA 和Annealing2Simplex 等4 種算法應(yīng)用于環(huán)境模型參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果和計(jì)算效率。
　　關(guān)鍵詞:參數(shù)優(yōu)化;環(huán)境模型;CRS 算法;SCE UA 算法;Simulated2Annealing 算法;Annealing2Simplex 算法
　　中圖分類(lèi)號(hào):X11 　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 　文章編號(hào):025023301 (2002) 0220620001

Comparison of Parameter Optimization Algorithms for Environmental Model
Yi Liu ,J ining Chen ,Pengfei Du ( Environmental Simulation and Pollution Control State Key Joint Laboratory ,Department of Environmental Science and Engineering, Tsinghua University , Beijing 100084 )

　　Abstract:Parameters identification is achieved through the minimization of objective function based on model outputs and the observed data. Because of ever increasing complexity of environmental2models, there are significant difficulty for conventional optimal methods to present a global optimization. On the contrast , however , direct optimization algorithms are widely developed in recent years due to increasing computer efficiency and show promising applications. Four direct optimal algorithms , i. e. CRS algorithm , SCE UA algorithm , SA algorithm and Annealing2Simplex algorithm , were thus selected in this paper to compare their performances via case studies.
　　Keywords:parameter optimization ; environmental model ; CRS algorithm; SCE UA algorithm; Simulated2Annealing algorithm; Annealing2Simplex algorithm

　　人們對(duì)環(huán)境系統(tǒng)的深入研究是建立在環(huán)境模型的廣泛應(yīng)用基礎(chǔ)上的. 為了更加精確地刻畫(huà)環(huán)境系統(tǒng)的行為,環(huán)境模型在近10 年里表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的復(fù)雜化趨勢(shì);不同空間尺度、不同時(shí)間過(guò)程模型的耦合,進(jìn)一步加劇了這一過(guò)程. 環(huán)境模型的復(fù)雜性導(dǎo)致了模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)可識(shí)別性問(wèn)題的提出,并成為當(dāng)今環(huán)境建模理論研究的熱點(diǎn)[1 ,2 ] . 其中在不確定性的框架下,模型參數(shù)的優(yōu)化是研究的一個(gè)重要方面.
　　解決優(yōu)化問(wèn)題的難度主要取決于模型參數(shù)的空間維數(shù)和模型本身的非線性特征. 一般來(lái)說(shuō),參數(shù)越多、非線性越強(qiáng),優(yōu)化時(shí)間和精度就越差,同時(shí)也越不能夠保證優(yōu)化算法是否收斂到整體最優(yōu). 傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)表明,求解優(yōu)化問(wèn)題的困難主要體現(xiàn)為[4 ,5 ] : ①全局搜索可能收斂到多個(gè)不同的吸引域; ②每一個(gè)吸引域可能包含一個(gè)或多個(gè)局部最小值; ③目標(biāo)函數(shù)在n 維參數(shù)空間上不連續(xù); ④參數(shù)及相互間存在高度靈敏性和顯著非線性干擾; ⑤在最優(yōu)解的附近,目標(biāo)函數(shù)往往不具有凸性。
　　優(yōu)化算法可以分為直接算法和間接算法2大類(lèi). 間接算法(如牛頓法以及各種以牛頓法為基礎(chǔ)的改進(jìn)算法) 的局限性主要在于要求目標(biāo)函數(shù)在相關(guān)值域上必須是可微的;而直接算法僅涉及目標(biāo)函數(shù)值的計(jì)算,不需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 因此盡管后者的計(jì)算效率相對(duì)較低,但在環(huán)境問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用中,它可以有效和簡(jiǎn)潔地解決由于模型復(fù)雜性所衍生的不可微函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題. 同時(shí),與求解問(wèn)題所耗費(fèi)的時(shí)間相比,通常更為關(guān)注解的結(jié)果能夠在多大程度上描述系統(tǒng)的行為[1 , 2 ] . 所有這些使得直接算法在近年來(lái)得到了迅速發(fā)展和廣泛的應(yīng)用.
　　本文的目的在于分析和比較幾種近年來(lái)漸為接受的參數(shù)直接優(yōu)化算法的計(jì)算效率、計(jì)算精度及其算法穩(wěn)定性. 由于直接算法本質(zhì)上的隨機(jī)性,以及對(duì)于不同優(yōu)化問(wèn)題所表現(xiàn)出的算法特性上的差異,因此本文僅以經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和環(huán)境水文模型為例,對(duì)幾種算法進(jìn)行詳細(xì)的比較研究.

1　參數(shù)優(yōu)化算法

　　模型參數(shù)的優(yōu)化即是尋求一組參數(shù),使模型的輸出與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)之間按給定目標(biāo)函數(shù)的度量方式達(dá)到最佳擬合,即:

　　Min f ( ys , yobv ,θ) = f ( ys , yobv ,θ3 ) 　θ ∈ S　　　 (1)
　　式中, f ( y , θ) 為目標(biāo)函數(shù); ys 表示模型輸出變量, yobv為系統(tǒng)觀測(cè)值;θ3表示參數(shù)可行域S 上的最優(yōu)參數(shù)向量.

　　最早提出的直接算法均是簡(jiǎn)單隨機(jī)方法,這些算法除了計(jì)算效率低外,主要缺陷在于要求目標(biāo)函數(shù)在鄰域上必須是不相關(guān)的.
控制隨機(jī)搜索算法(CRS) [10 , 11 ] 有效地克服了簡(jiǎn)單隨機(jī)算法的主要缺點(diǎn),在計(jì)算過(guò)程中保存指定數(shù)目的參數(shù)樣本及其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值,引入幾何學(xué)中“重心”的概念,即考慮了新點(diǎn)產(chǎn)生的隨機(jī)性,又在一定程度上保證了搜索的整體性. 復(fù)合形混合演化算法( SCE UA) [4 , 5 ]所采用的競(jìng)爭(zhēng)演化和復(fù)合形混合的概念繼承了CRS 算法中全局搜索和復(fù)合形演化的思想,該方法將生物自然演化過(guò)程引入到數(shù)值計(jì)算中,模擬了生物進(jìn)化的過(guò)程,提高了計(jì)算效率和全局搜索整體最優(yōu)的能力. 模擬退火算法(SA) [7 , 12 ]則假設(shè)優(yōu)化問(wèn)題的解及其目標(biāo)函數(shù)分別與固體物質(zhì)的微觀狀態(tài)及其能量所對(duì)應(yīng),采用蒙特卡洛(Monte Carlo) 隨機(jī)方法模擬固體穩(wěn)定“退火”的過(guò)程,并假設(shè)優(yōu)化過(guò)程中遞減目標(biāo)函數(shù)值的控制參數(shù)t 與“退火”過(guò)程中的溫度T 所對(duì)應(yīng),對(duì)于控制參數(shù)t 的每一個(gè)值,算法持
續(xù)進(jìn)行“產(chǎn)生新解2判斷2接受/ 舍棄”的迭代過(guò)程,應(yīng)用該算法的關(guān)鍵在于確定合理的冷卻進(jìn)度表. 退火單純形算法(AS) [8 , 9 ]綜合了下山單純形方法和模擬退火法2 種優(yōu)化算法,充分利用單純形的形變信息,以一定溫度T 所對(duì)應(yīng)的概率接受準(zhǔn)則來(lái)指導(dǎo)單純形的映射、壓縮和擴(kuò)展等過(guò)程,提高了計(jì)算效率和算法穩(wěn)定性.
　　運(yùn)用直接算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化首先要正確選取算法的內(nèi)部控制參數(shù). 一般根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn),采取數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法不斷測(cè)試參數(shù)“性能”,從而確定既保證算法收斂到滿意的極值,又不至于使計(jì)算過(guò)于耗費(fèi)時(shí)間而導(dǎo)致算法失效. 選擇控制參數(shù)本身實(shí)際就是一個(gè)“優(yōu)化”過(guò)程.

2　測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化

　　首先采用一個(gè)廣泛使用的、具有多個(gè)局部極小值的經(jīng)典函數(shù),對(duì)上述幾種優(yōu)化算法的全局搜索能力進(jìn)行較為全面的測(cè)試,其函數(shù)形式為:

　　盡管測(cè)試函數(shù)僅有x 、y 2 個(gè)變量,但其等值線卻具有復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu),即多個(gè)局部極小、值域空間上的不連續(xù)和全局最小值周?chē)南憬稜瞠M長(zhǎng)低谷(圖1) . 現(xiàn)已知參數(shù)全局最小值為(5 ,5) ,所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為10.0。

　　如前所述,為了保證直接算法的優(yōu)化精度和避免算法失效,在算法的運(yùn)行中需要在如下３個(gè)優(yōu)化終止準(zhǔn)則中進(jìn)行選擇和組合: ①前m組最佳估計(jì)參數(shù)收斂到可接受的參數(shù)空間,即最優(yōu)參數(shù)的不確定性小于ε1 ; ②最佳目標(biāo)函數(shù)值的優(yōu)化改進(jìn)速率小于給定值ε2 ; ③搜索過(guò)程中參數(shù)采樣總數(shù)不超過(guò)給定的計(jì)算次數(shù)n.
　　表1 給出了4 種直接算法分別基于終止準(zhǔn)則1 和2 ,以及不同初值假設(shè)條件下的測(cè)試函數(shù)參數(shù)最優(yōu)值和計(jì)算效率. 為了盡可能消除算法隨機(jī)性對(duì)于算法比較的影響,表格中數(shù)據(jù)除了計(jì)算次數(shù)的偏差外,均為相同條件下5 次運(yùn)算結(jié)果的算術(shù)平均值.
　　由于AS 算法中的下山單純形方法具有很強(qiáng)的方向性,因而在兩個(gè)終止準(zhǔn)則約束下,算法均可迅速達(dá)到全局最優(yōu)化,且結(jié)果具有較高精度. 盡管SCE UA 算法引入競(jìng)爭(zhēng)演化思想后提高了樣本空間的搜索效率,但是不同種群從不同方向上向全局最優(yōu)點(diǎn)逼近,以及同一種群內(nèi)部仍然采用的單純形控制隨機(jī)搜索方法,使得該算法在計(jì)算效率上遠(yuǎn)不及AS 算法. 然而SCEUA 算法在各種初值條件下均可得到十分精確的全局優(yōu)化結(jié)果,可見(jiàn)該算法的穩(wěn)定性和可靠性比AS 算法具有更大的優(yōu)勢(shì). 與前2 種算法相比,CRS 算法和SA 算法在計(jì)算效率和精度方面均表現(xiàn)不佳. 特別是當(dāng)參數(shù)初值發(fā)生變化時(shí),必須相應(yīng)地調(diào)整控制參數(shù)才能得到較好的計(jì)算結(jié)果,這說(shuō)明2 種算法的適應(yīng)能力較差.

表1 　4 種直接算法的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果1)
Table 1 　Parameter optimization results of four direct optimal algorithms

表2 　目標(biāo)函數(shù)計(jì)算次數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性
Table 2 　Statistical characteristics of the calculating　times of objective function

　　可以采用各種初始條件下對(duì)應(yīng)同一終止準(zhǔn)則計(jì)算次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方差來(lái)表征算法的隨機(jī)性.盡管基于控制性隨機(jī)搜索思想構(gòu)造的直接優(yōu)化算法不可能完全消除計(jì)算結(jié)果的隨機(jī)性,但是算法結(jié)構(gòu)的精心設(shè)計(jì)將在一定程度上減小隨機(jī)性影響,同時(shí)也就意味著算法穩(wěn)定性的增大. 表2 中結(jié)果顯示SCE UA 算法的計(jì)算次數(shù)在各種初始條件下的標(biāo)準(zhǔn)方差遠(yuǎn)小于其他3 種直接算法,再次表明了算法所具有的良好穩(wěn)定性. 這一結(jié)果的產(chǎn)生是由于SCE UA 算法結(jié)構(gòu)中引入的復(fù)合形概念及其競(jìng)爭(zhēng)混合算法大大削弱了計(jì)算結(jié)果的隨機(jī)性.
　　對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則1 和2 的計(jì)算次數(shù)偏差,表征了算法對(duì)于選用不同終止準(zhǔn)則的敏感性. 根據(jù)表2 結(jié)果可以得到4 種算法的敏感性排序?yàn)?從大到小) : SCE UA > SA > AS > CRS ,特別是CRS 算法的計(jì)算次數(shù)偏差的最大值和統(tǒng)計(jì)平均值分別為- 5.34 %和- 3.19 %,遠(yuǎn)小于其他3種算法. 更進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜性與算法對(duì)于終止準(zhǔn)則選用的敏感性之間高度相關(guān),表現(xiàn)為本例中算法敏感性排序與復(fù)雜性順序完全一致. 其原因在于,直接算法在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性所形成的內(nèi)部約束與目標(biāo)函數(shù)的外部約束的共同作用下趨向全局最優(yōu),其結(jié)果必然是一個(gè)不斷協(xié)調(diào)和折衷的過(guò)程. 算法越復(fù)雜,內(nèi)部約束就越強(qiáng),其計(jì)算結(jié)果就越發(fā)表現(xiàn)出與終止準(zhǔn)則之間的高度相關(guān)性. 因此簡(jiǎn)單算法對(duì)于外部終止準(zhǔn)則控制性約束的適應(yīng)能力較之復(fù)雜算法更為靈活.

3 　環(huán)境模型參數(shù)優(yōu)化:水文模型實(shí)例

　　隨著環(huán)境模型的不斷開(kāi)發(fā)和廣泛應(yīng)用,環(huán)境模型的種類(lèi)和數(shù)量日益豐富,模型本身所表現(xiàn)出的結(jié)構(gòu)特征也日趨復(fù)雜. 因此研究和比較直接算法的參數(shù)優(yōu)化特性,既無(wú)可能也無(wú)必要將其應(yīng)用于每一個(gè)環(huán)境模型的參數(shù)優(yōu)化評(píng)估中. 現(xiàn)實(shí)而合理的方法是選擇具有典型結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和非線性特征的環(huán)境模型進(jìn)行實(shí)例研究.由于篇幅所限,本研究?jī)H以箱式水文模型為例,對(duì)4 種參數(shù)直接優(yōu)化算法進(jìn)行比較研究.
　　研究中采用2 個(gè)箱式的模型結(jié)構(gòu)模擬徑流在流域中的運(yùn)動(dòng)情況(例如,Cooper 等人[3 ]在其研究中給出的水文箱式模型介紹),該模型共有11 個(gè)參數(shù),表3 給出了本文中模型參數(shù)的取值范圍及其物理意義.

表3 　水文模型參數(shù)取值及其物理意義
Table 3 　The parameter value and its physical meaning of

　　根據(jù)不同最優(yōu)化準(zhǔn)則構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)將對(duì)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定影響[2 , 6 ] . 本研究以最小二乘法為優(yōu)化準(zhǔn)則構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)如下:

　　其中, f obv為觀測(cè)流量, f sim表示模擬輸出流量; N為模擬點(diǎn)數(shù). 本研究取N = 168 ,模擬暴雨期7 天的小時(shí)觀測(cè)流量. 終止準(zhǔn)則采用準(zhǔn)則1 和3.
　　圖2 是水文模型參數(shù)優(yōu)化后的流量模擬曲線,可以直觀的看到4 條優(yōu)化曲線均較好的擬合了觀測(cè)流量. 表4 給出了4 種直接算法分別在相同條件下運(yùn)算5 次,以不確定性表示的最優(yōu)參數(shù)值和最小二乘的目標(biāo)函數(shù)值, 以及以CPU 時(shí)間表示的平均計(jì)算效率.
　　目標(biāo)函數(shù)值和最佳估計(jì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征值共同表征了優(yōu)化算法的穩(wěn)定性和可靠性. 根據(jù)表4 中的計(jì)算結(jié)果, SA 算法和CRS 算法的目標(biāo)函數(shù)值和最佳估計(jì)參數(shù)均具有較大不確定性,盡管2 種算法分別得到了相對(duì)較小的目標(biāo)函數(shù)值( ZSA = 117774 , ZCRS = 118648) ,但是目標(biāo)函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差2 個(gè)統(tǒng)計(jì)量卻均較大. 相反,AS算法和SCE UA算法則表現(xiàn)出更為優(yōu)秀的計(jì)算特性,即算法既能夠保證一定的計(jì)算精度,又具有可靠的重復(fù)性. 與SCE UA算法相比,AS 算法的目標(biāo)函數(shù)值和最佳估計(jì)參數(shù)的不確定性更為縮小,進(jìn)一步說(shuō)明AS 算法全局參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程所具備的計(jì)算穩(wěn)定性和可靠性.

表4 　4 種算法計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率
Table 4 　Calculating results and its efficiency of four algorithms

　　對(duì)應(yīng)于一定退火溫度下的接受準(zhǔn)則,AS 算法中的下山單純形法在目標(biāo)函數(shù)下降的方向上搜索全局最優(yōu),不僅有效避免了算法陷入局部極小值,而且大大提高了計(jì)算效率. 表4 的計(jì)算結(jié)果表明AS 算法的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于其他3 種直接算法. 由于SCE UA 的算法設(shè)計(jì)是在CRS算法基礎(chǔ)上引入生態(tài)學(xué)競(jìng)爭(zhēng)演化模式,盡管全局優(yōu)化的可靠性和穩(wěn)定性有較大提高,但卻是以算法復(fù)雜性的增加和計(jì)算效率的下降為代價(jià).
　　此外,研究中發(fā)現(xiàn)SA 算法引入的物理結(jié)晶過(guò)程使得算法本身控制參數(shù)的選擇具有較大困難. 對(duì)于不同優(yōu)化問(wèn)題,初始溫度、退火率和馬爾可夫鏈長(zhǎng)度所組成的冷卻進(jìn)度表有很大差異. 使用者必須通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)精確調(diào)整冷卻進(jìn)度表使之能夠適應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,這就降低了SA 算法的適應(yīng)性并增加了實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中的困難.
　　實(shí)例研究表明,環(huán)境模型的參數(shù)優(yōu)化過(guò)程遠(yuǎn)較測(cè)試函數(shù)復(fù)雜,4 種直接算法的最佳估計(jì)參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)無(wú)一收斂到單一數(shù)值,并且采用統(tǒng)計(jì)特征量描述優(yōu)化結(jié)果的不確定性也具有較大差異. 直接算法優(yōu)化結(jié)果的不確定性分析不僅為進(jìn)一步比較和理解算法特性提供了有效途徑,更為重要的是其揭示了優(yōu)化算法不能完 全解決復(fù)雜模型參數(shù)的識(shí)別問(wèn)題,因此基于環(huán)境模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不確定性研究成為必然.

4 　結(jié)論

　　本文通過(guò)2 個(gè)模型實(shí)例的參數(shù)優(yōu)化計(jì)算,對(duì)4 種直接算法的基本優(yōu)化特性進(jìn)行了分析比較,研究表明AS 算法和SCE UA 算法具有較高的可靠性和穩(wěn)定性,AS 算法同時(shí)還具有較高的計(jì)算效率.
　　理論上,對(duì)于任何在整個(gè)參數(shù)可行域上進(jìn)行隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法,當(dāng)計(jì)算次數(shù)足夠大并適當(dāng)選取了控制參數(shù)時(shí),算法都能夠收斂到唯一的全局最優(yōu)值. 然而實(shí)踐遠(yuǎn)較之復(fù)雜:不僅需要在計(jì)算精度和計(jì)算效率之間做出艱難的選擇,更必須面對(duì)模型復(fù)雜性增加所導(dǎo)致的參數(shù)可識(shí)別問(wèn)題. 由于算法隨機(jī)性的影響,特別是模型參數(shù)具有的不確定性,4 種直接算法得到的最佳參數(shù)估計(jì)值與目標(biāo)函數(shù)無(wú)法較好吻合. 由此可見(jiàn),基于參數(shù)優(yōu)化算法框架下的模型參數(shù)仍然不可識(shí)別,即優(yōu)化算法不能解決模型參數(shù)的不確定性問(wèn)題.

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基金項(xiàng)目:高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師教學(xué)科研獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃資助項(xiàng)目　作者簡(jiǎn)介:劉毅(1975～) ,男,博士研究生,主要從事環(huán)境系統(tǒng)分析方向的研究工作.
收稿日期:2001201210 ;修訂日期:2001204227