段煥豐　 俞國(guó)平　 俞海寧
（同濟(jì)大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

　　摘要：介紹了基于模式識(shí)別和時(shí)間序列方法相結(jié)合的模型來預(yù)測(cè)城市時(shí)用水量。將每天的水量需求模式分為“上升(快速和緩慢)”、“波動(dòng)”和“下降”三個(gè)或四個(gè)連續(xù)反復(fù)的狀態(tài)，即連續(xù)的馬爾可夫狀態(tài)。并分別利用低次積分自回歸－移動(dòng)平均模型(ARIMA) 來擬合預(yù)測(cè)。實(shí)例結(jié)果表明該模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來幾天的時(shí)用水量，并且可以實(shí)時(shí)操作，簡(jiǎn)單易行。
　　關(guān)鍵詞：模式識(shí)別；時(shí)間序列；時(shí)用水量；預(yù)測(cè)；積分自回歸－移動(dòng)平均模型

Pattern Recognition and Time Series Analysis Models for Forecasting Urban Hourly Water Demands

Duan Huanfeng; Yu Guoping; Yu Haining
(School of Environmental Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092)

　　Abstract： Hourly water-demand data is forecasted with a model based on a combination of pattern recognition and time series analysis. There or four repeating states are observed in the daily demand pattern: “Rising (slow or rapid),” “Oscillating,” and “Falling,” which are defined as successive states of a Markov process; and low-order auto-regressive integrated moving average models (ARIMA) fitted to each segment. An example followed shows that the model can be used to forecast hourly demands for a period of one to several days ahead, and the forecast can be performed in real time easily.
　　Keywords：pattern recognition; time series analysis; hourly water-demand; forecast; low-order auto-regressive integrated moving average (ARIMA) models

　　城市配水系統(tǒng)在線作業(yè)控制的任務(wù)是為該系統(tǒng)制定和執(zhí)行某一計(jì)劃方案。其目的就是在最小費(fèi)用的目標(biāo)下滿足用水量需求，即最優(yōu)運(yùn)行操作方案。一般來說，由于配水系統(tǒng)的許多運(yùn)行工作都是以一天（24小時(shí)）為周期，其運(yùn)行方案須至少提前24小時(shí)就制定好。而制定該最優(yōu)運(yùn)行方案的前提條件就是要準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出整個(gè)方案期間的時(shí)用水量。因此，時(shí)用水量的預(yù)測(cè)對(duì)配水系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行有著重要的意義。
　　用來預(yù)測(cè)用水量的方法主要有：時(shí)間序列法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法及灰色理論模型法等等。從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來看，單純的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和灰色理論模型法需要的歷史數(shù)據(jù)較多并且更適用于中長(zhǎng)期的宏觀水量預(yù)測(cè)，而時(shí)間序列法在預(yù)測(cè)時(shí)用水量時(shí)將產(chǎn)生較大誤差，特別是預(yù)測(cè)期越遠(yuǎn)其誤差就越大。對(duì)此，本文提出一種模式識(shí)別與時(shí)間序列相結(jié)合的預(yù)測(cè)方法來提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。

1.基本思想

　　一天中需水量的變化取決于許多因素，如溫度，濕度，距上次下雨的時(shí)間間隔以及一周中的第幾天等等。然而，我們從實(shí)踐中許多實(shí)例的考察可以看出某些天中的用水需求曲線模式有顯著的相似。一般來說，每天用水量曲線總的趨勢(shì)都是在晚上較低，從早上開始上升，一直達(dá)到最高并有波動(dòng)，然后又下降。這些變化部分的過渡或者是各部分的曲線形狀將隨用水對(duì)象的不同而不同。但是，我們可以將每天的模式劃分為“上升”、“波動(dòng)”和“下降”三個(gè)部分或狀態(tài)，下面我們所要討論的模型將基于此，然后確定各部分的過渡點(diǎn)并且為每個(gè)部分構(gòu)造時(shí)間序列模型。
　　本文將在Mottl’ (1983)提出的模式識(shí)別原理方法的基礎(chǔ)上，假設(shè)以上各部分的需求模式是一個(gè)隨機(jī)過程，并且它們之間的過渡是一個(gè)馬爾可夫鏈，而在各部分內(nèi)部則是一個(gè)自回歸過程。該預(yù)測(cè)方法包括一下步驟：
　　（1）假設(shè)：同上，假設(shè)每天的水量需求通常分為三個(gè)狀態(tài)。如果有必要，可以將“上升”狀態(tài)分為“緩慢上升”和“快速上升”兩個(gè)狀態(tài)，從而使整體形成四個(gè)狀態(tài)，這樣可以進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)的精度。
　　（2）模式的學(xué)習(xí)訓(xùn)練：根據(jù)人工智能方面的模式學(xué)習(xí)原理，輸入必要的需求數(shù)據(jù)（部分?jǐn)?shù)據(jù)），對(duì)上述三種或者四種狀態(tài)模式進(jìn)行自我訓(xùn)練學(xué)習(xí)，計(jì)算出各部分狀態(tài)之間的過渡概率以及每部分狀態(tài)中自回歸模型的參數(shù)初試值。
　?。?）模式識(shí)別：利用所有的需求數(shù)據(jù)集合，計(jì)算出最優(yōu)參數(shù)值，包括各狀態(tài)的事后概率、各狀態(tài)之間的過渡概率以及自回歸模型參數(shù)的最優(yōu)值。
　　（4）預(yù)測(cè)：利用上述得出的各狀態(tài)的事后概率和自回歸模型來預(yù)測(cè)未來一天的用水量。
　　該預(yù)測(cè)模型中所用數(shù)據(jù)最好是連續(xù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并且數(shù)量適度即可。

2.預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 需求模型
　　由上述，各水量需求看作是一個(gè)隨機(jī)過程，并且重復(fù)三個(gè)狀態(tài)過程；從一個(gè)狀態(tài)過渡到另一個(gè)狀態(tài)是一個(gè)馬爾可夫鏈。因此，每個(gè)狀態(tài)的長(zhǎng)度是隨機(jī)的。
　　設(shè)v_t(t=…-1，0，1，2…)為時(shí)刻t需求曲線的狀態(tài)，并且v_t=1，…m 取整數(shù)值，則從一個(gè)狀態(tài)到下一個(gè)狀態(tài)的過渡概率為

　　　　　　　　　 　　　　　　　?。?）

　　在時(shí)刻t，需水量x_t是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的n次自回歸過程：

　　　　　　　　　　　　　（2）

　　　　 其中：_{ct=(c0t，c1t，……，cnt)}為一組與時(shí)間有關(guān)的系數(shù)向量；
　　　　　ζ_t為具有零期望值和單位方差的標(biāo)準(zhǔn)變量；
　　　　　b_t為離散白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，與時(shí)間有關(guān)。

　　又設(shè)在（2）中的參數(shù)向量θ_t=(c_t，b_t)，在任何時(shí)刻t 都能假設(shè)1 到m之間的值_k ，并設(shè)v_t=k，k=1，…m 則。自回歸模型的次序m 可以允許在各部分之間變化，這樣可以為模型的適應(yīng)度帶來更大的靈活性。假設(shè)有數(shù)據(jù)X₁^N=(x₁，…x_N)，我們將利用該數(shù)據(jù)來解決以下兩個(gè)相關(guān)的問題：
　　1） 估計(jì)參數(shù)P，θ^l，…，θ^m；
　　2） 確定在時(shí)刻t 的任一點(diǎn)的狀態(tài)V₁^N=(v₁，…v_N) 。
　　根據(jù)Yacovlev 和Vorob’yov (1986)提出的極大可能方法原理，則有：

　　 　　　　　 （3）

　　其中，f(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 為向量X_l^N 的條件概率密度。
　　上述過程為一個(gè)反復(fù)遞推的計(jì)算過程，其主要的特點(diǎn)和計(jì)算過程如下：

　　1)logf(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 為單調(diào)不減；
　　2) 參數(shù)P^*，θ^l‘，…，θ^{m ‘} 的估計(jì)滿足：

　　 （4）

　　即f(X_l^N|P，θ^l，…，θ^m) 的一個(gè)局部極大值點(diǎn)。

　　其遞推方程為：

　　 　　 （5）

　　 　　　　　　　　　　　　　　 （6）

　　并且：

　　 （7）

　　其中：p(v_t=k|X_l^N，P_s，θ_s^l，…，θ_s^m) 為在時(shí)刻t狀態(tài)_k下過程x_t 的事后概率，對(duì)其估計(jì)按照馬爾可夫鏈的性質(zhì)及式（7）來進(jìn)行計(jì)算。
　　對(duì)上述每一步遞推，都要滿足式（4），以收斂到某一期望值。
　　由條件概率的性質(zhì)有：

　　 　　　　?。?）

　　根據(jù)Yacovlev 和Vorob’yov (1986)有：

　　 　　　?。?）

　　由上述（1）～（9）式，我們即可以對(duì)模型（1）和（2）的參數(shù)P，θ^l，…，^m 進(jìn)行估計(jì)，其具體的算法步驟敘述如下。
2.2 模型的求解
　　上文已對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了詳細(xì)說明，現(xiàn)對(duì)該模型進(jìn)行求解，主要步驟如下：
2.2.1模式學(xué)習(xí)訓(xùn)練：
　　1） 檢查所給樣本數(shù)據(jù)，得出m 和N值，一般m=3 or 4 ；N>200-300 ；
　　2） 選出部分樣本數(shù)據(jù)，設(shè)N₁個(gè)，且N₁<<N ；
　　3） 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)頻率計(jì)算過渡概率初試矩陣：
　　 　　　　　 （10）

　　其中，t=1，…，N_l，并任意設(shè)

　　 　?。?1）

　　4）根據(jù)（5）計(jì)算θ_l^k=k，k=1，…m，并計(jì)算（6）、（7）和（8）式，這些計(jì)算均是對(duì)t=1，…，N_l而言。

2.2.2模式識(shí)別

　　這部分計(jì)算均是對(duì)所有的樣本數(shù)據(jù)t=1，…，N ：
　　1）計(jì)算事后概率 （12）

　　k=1，…m

　　2）根據(jù)（5）和（6）式計(jì)算和。

　　這部分計(jì)算是一個(gè)重復(fù)遞推過程，直到滿足局部最優(yōu)可行解的條件。在計(jì)算過程中定義一個(gè)誤差函數(shù)和相對(duì)應(yīng)的真值函數(shù)，使得誤差函數(shù)值最小。

　　其中λ(k,k)=0；λ(k,l)=1；k,l=1，…，m，且k≠1　　　　　?。?5）

　　以上的計(jì)算過程中，在特殊情況下可以通過引入動(dòng)態(tài)規(guī)劃法進(jìn)行最小化修正詳見文獻(xiàn)。

2.2.3預(yù)測(cè)
　　1） 狀態(tài)預(yù)測(cè)
　　由上述算法得到了各個(gè)時(shí)刻每個(gè)狀態(tài)的事后概率，運(yùn)用積分自回歸－移動(dòng)平均模型（ARIMA）來進(jìn)行預(yù)測(cè)。在一天內(nèi)（T＝24h）的模型形式為：

　　 　　　　　　　 （16）

　　其中，p_t 為事后概率，看作為隨機(jī)過程；ζ_t 同前；B^T 為轉(zhuǎn)置矩陣（B=x_t-x_t-1）；φ₁，Γ₁，Γ₂為多項(xiàng)式。

　　性能指標(biāo)：

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　?。?7）

　　2） 用水量預(yù)測(cè)
　　根據(jù)上述預(yù)測(cè)模型對(duì)未來用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以分別利用三個(gè)和四個(gè)狀態(tài)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，顯然，四個(gè)狀態(tài)的模型比三個(gè)狀態(tài)的模型精度高，但計(jì)算量稍大。本文核心計(jì)算模塊程序采用C++語言編寫，以提高效率。其預(yù)測(cè)效果詳見實(shí)例。

3.應(yīng)用

　　根據(jù)某城市配水系統(tǒng)1999年夏的兩個(gè)月（6.1日～7.31日）的實(shí)測(cè)時(shí)用水量數(shù)據(jù)來進(jìn)行預(yù)測(cè)。整個(gè)中心城區(qū)的服務(wù)總?cè)丝诩s20萬，平均日用水量為2.2萬m³。由于篇幅限制其原始數(shù)據(jù)省略。通過上述模型訓(xùn)練與模式識(shí)別來進(jìn)行未來用水量的預(yù)測(cè)。本文僅就上文中的四態(tài)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，三態(tài)模型的預(yù)測(cè)原理過程同樣可得。圖1中給出了對(duì)未來五天（8.1日～8.5日）的時(shí)用水量預(yù)測(cè)結(jié)果。圖中還同時(shí)給出了真實(shí)用水量值以進(jìn)行比較。
　　表1則給出了對(duì)未來一個(gè)月(8月份)的日用水總量的預(yù)測(cè)結(jié)果及模型誤差。從圖1中可以看到時(shí)用水量曲線與實(shí)際曲線的擬合程度很高，表1則說明了該方法的預(yù)測(cè)累計(jì)誤差很小，對(duì)配水系統(tǒng)的在線實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的精度很高。

圖1 四態(tài)模型24小時(shí)用水量的預(yù)測(cè)曲線
Fig.1 Four state model demand forecasting curve for 24h ahead

表1 四態(tài)模型對(duì)八月份用水量的預(yù)測(cè)值
Tab.1 Evaluation of four state model’s forecast for August

4. 結(jié)語

　　通過對(duì)預(yù)測(cè)模型的理論推導(dǎo)和實(shí)例應(yīng)用，我們可以看出該模型方法誤差很小。盡管它在理論推導(dǎo)有些繁瑣，但是，在實(shí)際中，通過模塊化編程形成計(jì)算軟件，其應(yīng)用非常簡(jiǎn)單，特別適用于實(shí)時(shí)連續(xù)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)；而且它能夠在個(gè)人計(jì)算機(jī)上只需很短時(shí)間的運(yùn)行即可得到較為精確的結(jié)果。因此，該預(yù)測(cè)方法在給水系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)行中具有很大實(shí)用經(jīng)濟(jì)價(jià)值。當(dāng)然，對(duì)于某些很小的城鎮(zhèn)配水系統(tǒng)，由于其用水變化很大，甚至單個(gè)用戶用水對(duì)整個(gè)系統(tǒng)都有影響，該方法則難以精確預(yù)測(cè)，這也仍需進(jìn)一步探討。

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作者簡(jiǎn)介 段煥豐，男，1982年生，安徽安慶人，碩士研究生，主要從事市政工程設(shè)計(jì)與運(yùn)行最優(yōu)化方向的研究。
　　　　 俞國(guó)平，男，同濟(jì)大學(xué)教授，從事運(yùn)行調(diào)度優(yōu)化研究。
　　　　　俞海寧，女，碩士研究生。
第一作者通訊地址：上海市武東路100號(hào)同濟(jì)大學(xué)滬東校區(qū)0336#信箱　　　　 郵編：200433
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