龍騰銳，方芳，郭勁松，成一知?
（重慶建筑大學城市建設學院，重慶400045）

　　摘　要：將分形和分數(shù)維概念用于水處理多孔填料表面特征和微孔結(jié)構(gòu)的研究，并通過對酶促生物填料測試數(shù)據(jù)的分析證明：多孔填料的表面和微孔結(jié)構(gòu)具有典 型的分形特征，其面積分數(shù)維越大，填料表面越粗糙；其容積分數(shù)維越大，微孔占有空間的能力越強。因此，該方法為多孔填料的開發(fā)研究和性能分析提供了一種新思路和新方法。?
　　關鍵詞：分形；分數(shù)維；多孔填料?
　　中圖分類號：X703
　　文獻標識碼：A
　　文章編 號：1000-4602(1999)12-0010-04

The Fractal Nature and Fractal Dimensions of Porous Media Used in Water Treatment?
LONG Teng-rui，F(xiàn)ANG Fang，GUO Jing-song，CHENG Yi-zhi
(Faculty of Urban Construction,Chongqing Jianzhu Univ.,Chong qing 400045,China)?

　　Abstract：Fractal and fractal dimensions are introduced into the research on the surface character and micropore structure of porous media used in water and wastewater treatment. By the analysis of the test data of enzyme-promoting biol ogical media, it has been proved that the surface and micropore structure are of typical fractal nature. The larger the fractal dimensions of area become, the r ougher the surface of the media is, and the larger the fractal dimensions of vol ume become, the ber the ability of the space expansion of micropore is. The refore, it provides a new thinking and a new method for research, development an d performance analysis of porous media.?
　　Keywords:fractal;fractal dimensions;porous media

　　 目前用于描述填料幾何大小、形狀的參數(shù)主要有粒度、形狀因子等，用于評價其性能的指標主要有比表面積、空隙率、體積質(zhì)量、松散容重、機械強度等。這些參數(shù)和指標幾乎都是在宏觀或中觀尺度上，在對多孔填料表面和孔內(nèi)部作了許多非真實的假設和簡化后，對填料形狀及特性進行定性或定量的描述。而在微觀尺度上的研究尚少，尤其是在定量地描述多孔填料的表面粗糙度和微孔結(jié)構(gòu)等特征方面。事實上，填料的這些特征對其性能的影響非常大。本文運用分形理論對多孔填料的表面粗糙度和微孔結(jié)構(gòu)進行研究，以探討多孔填料微觀特征描述的新方法。?

1 分形的有關概念

　　 歐氏幾何以規(guī)整幾何圖形為研究對象，它們的空間維數(shù)均為整數(shù)，如點、線、面、體分別為0、1 、2、3維。事實上，自然界中存在著大量不規(guī)則的物體，分形論就是以分數(shù)維來表征這一廣 泛存在的、無序、復雜、奇異的一大類客體。1975年，羅德布羅特(Mandelbrot)在總結(jié)了自然界中的非規(guī)整幾何圖形后，第一次提出分形的概念，但迄今為止對分形尚未有嚴密的定義。
　　 分形有兩個重要特征：自相似性和標度不變性。自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者是某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)與整體性質(zhì)相類似^［１］。統(tǒng)計意義下的自相似性只存在于一定標度(尺度)范圍內(nèi)，其兩端常受到某種特征尺度的限制，在此范圍之外，就不是分形了，具有自相似性的范圍稱為無 標度空間。所謂標度不變性是指在無標度空間中具有分形特征的研究對象的性質(zhì)與尺度無關。換而言之，是指在研究對象上任一局部區(qū)域，只要是屬于無標度空間范圍，不論將其放 大或縮小，它的形態(tài)、復雜程度、不規(guī)則性都與原來的研究對象一樣。?
　　自相似性與標度不變性是密切相關的。具有自相似性的圖形或結(jié)構(gòu)，一定滿足標度不變性，而分形的性質(zhì)只存在于無標度空間內(nèi)。?

2 確定分形維數(shù)的方法

　　為了定量描述包括非整數(shù)值在內(nèi)的維數(shù)，豪斯道夫(Hausdorff)在1919年提出連續(xù)空間的概念，也就是空間維數(shù)不是躍變的，而是可以連續(xù)變化的，可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)，通過 計算來確定維數(shù)，稱為豪斯道夫維數(shù)。曼德布羅特把豪斯道夫維數(shù)稱為分維，記為D。對于一個D維的幾何對象，若每一維的尺度都放大L倍，則這個幾何對象相應地放大K倍，且D、L 和K三者之間的關系應滿足：
?　　　　L^D=K 　　　　　　　　　　　(1)?
　　兩邊取對數(shù)，有：?
?　　　　D=lgK/lgL　　　　　　　　 (2)?
　　 反之，從縮小幾何對象的角度可以考慮把一個D維的幾何對象等分為N個小的幾何圖形，則每個小的幾何圖形相應地縮小r倍，且D、r和N三者之間應滿足：?
?　　　　N·r^D=1 　　　　　　　　　(3)?
　　兩邊取對數(shù)，有：
?　　　　D=lgN/lg(1/r) 　　　　　　(4)?

　　 上述兩種定義實際上是相同的，只是形式稍有不同，這里D不一定是整數(shù)，對于分形結(jié)構(gòu)而言，其維數(shù)一般是分數(shù)。?
　　從測量學的角度也可以定義分維。假定一個單位面積的正方形與一個單位體積的立方體分別為半徑r的圓盤與球體填充，則所需填充單元的數(shù)目N(r)有(在r相當小時)：?
　　 當D=2時，N(r)·πr²=1，所以
　　　　?N(r)∝_r^-2 (5)
　　當D=3時，N(r)·4/3πr³=1，所以?　
　　　　N(r)∝r^-3 (6)?
　　上兩式表明所需填充單元(圓盤或球體)的數(shù)目與物體的維數(shù)成指數(shù)關系，于是對分數(shù)維體數(shù)為D的分數(shù)維體應當有：?
　　　? N(r)∝rL^-D?　　　　　　　　　　　　?(7)?
由上式可知，如果能夠由實驗測定填充單元數(shù)目隨填充單元大小的變化規(guī)律，即可用lgN(r)—lgr圖上的斜率確定特體的分數(shù)維數(shù)。

3 多孔填料的分形與分數(shù)維特征分析

3.1 多孔填料的來源及分形特征
　　以我校研究開發(fā)的一種酶促生物填料作為分析研究對象，測試數(shù)據(jù)摘自中國科學院成都有機化學研究所對該種填料的分析測試報告。?
　　對多孔填料而言，傳統(tǒng)方法是將孔或填料本身假設為球形或柱形來研究其表面及容積特性，即作為規(guī)整幾何形狀進行研究。而事實上，填料表面和微孔都是極不規(guī)整的，填料中孔的表 面可以看作是高度不規(guī)則的分數(shù)維體，其內(nèi)部根本不存在光滑的孔壁，大孔的孔壁是由小孔和固體組成的分數(shù)維表面，而小孔的孔壁又是由微孔和固體組成的分數(shù)維表面。因此，水處 理多孔填料實際上具有顯著的分形特征。?
3.2 多孔填料無標度空間的確定
　　由分形的有關概念可知，要確定多孔填料的分形特征，首先要確定無標度空間的范圍，而此范圍的確定，在本研究中取決于兩個方面。其一由分形現(xiàn)象本身決定，這有賴于建立多孔填 料分數(shù)維模型及用模型模擬結(jié)果的精度來判別空間確定是否合理和適當。其二由多孔填料的工藝用途決定。有關研究表明，填料表面有孔與否及其粗糙程度可影響附著微生物量，從而影響反應器的性能。Murray認為對于無孔填料，生物膜的生長主要是填料表面縫隙里微生物生長的作用，對于多孔填料，微生物的生長主要取決于孔徑尺寸和空隙率；Anderson研究了多 孔填料和無孔填料與反應器有機負荷、生物量之間的關系，結(jié)果表明，填料表面越粗糙，填料上生物膜附著速率和生物量累計速率越快，且多孔填料上由于剪力而造成的生物量損失比無孔填料少，因而裝有多孔填料的反應器在較高有機負荷時，能保持較高的穩(wěn)定性和較好的性能^［２］。Messing確信，為了得到較高的固定細胞密度，至少70%的孔徑應為一個細菌細 胞的1～5倍；而Wang發(fā)現(xiàn)，孔徑為細菌平均直徑的2～5倍時可產(chǎn)生最大的固定細胞密度；Murray的研究表明，當多孔填料的孔徑為微生物尺寸的1～5倍時有最佳的生物量積累。因此在本研究中，多孔填料的有效孔徑取細菌尺寸的1～5倍，而廢水處理中細菌的大小一般為0.5～5μm^［３］，故有效孔徑的直徑為0.5～25 μm,并將此作為無標度空間。?
3.3 多孔填料分數(shù)維的計算
　　由上述分析可知，為了研究多孔填料的分數(shù)維特征，獲得分數(shù)維值，關鍵是獲得式(7)在非拓撲空間的應用表達式。對于多孔填料，若用比表面積和汞壓入的體積來代替N(r)，那么， 對于建立在單分子吸附層理論基礎上測得的比表面積S，有：?
?　S＝σ.N(r)＝πγ².N（γ），所以
　　N=（γ）∝^2-D （8）
　　對于建 立在壓汞法理論基礎上測得的汞壓入體積V，有：

　　V=U.N（γ）=4/3πγ²N（γ），所以
　　N=（γ）∝^3-D 　　　　　　　?。?）
　　式中　σ——吸附質(zhì)分子截面積
　　　　　U——填充物單元體積

　　這樣推廣到一般，有：

　　A=∝r^e-D （10）
　　式中　A——在某拓撲維數(shù)的空間中測定的幾何容量性質(zhì)
? 　　　r——測量尺度?
　　　　E——拓撲維數(shù)?
?　　　D——分數(shù)維數(shù)?
　　由式(8)可知，只要利用回歸分析方法確定lgS—lgr的關系，就可以由直線的斜率求得多孔填料的面積分數(shù)維值，其計算分析結(jié)果如表1所示。

　　圖1為填料1的lgS----lgr圖，其余的與之類似。

　　由式(9)可知，只要利用回歸分析方法確定lgV—lgr的關系，就可以由直線的斜率求得多孔填料的容積分數(shù)維值，其計算分析結(jié)果如表2所示。

　　圖2為填料1的lgV——lgr圖，其余的與之類似。

3.4 討論
　　從表1和表2可知，多孔填料的表面和微孔結(jié)構(gòu)都具有典型的分形特征。由分數(shù)維的物理意義可知，面積分數(shù)維值D_S越大，意味著多孔填料的表面越粗糙；容積分數(shù)維值D_V越大，意味著微孔占有空間的能力越強。而且從得到的數(shù)據(jù)可知，面積分數(shù)維值D_S和容積分數(shù)維值D_V有良好的相關性，即微孔占有空間的能力越強，多孔填料的表面越粗糙。?
　　分數(shù)維作為表征多孔填料表面粗糙程度和微孔結(jié)構(gòu)變化的物理量，一方面可用來研究骨料的配比、發(fā)泡劑的含量、燒成溫度、升溫速度和降溫速度等對多孔填料上述性能的影響，另一方面也可用來研究填料上生物膜量與多孔填料表面粗糙程度和微孔結(jié)構(gòu)變化的定量關系，為填料的研究提供了一種新思路和新方法。?
　　多孔填料微孔特征和表面的分數(shù)維可以用壓汞法簡便地求得，但值得注意的是，多孔填料的微孔并非按嚴格的數(shù)學規(guī)則生成，而是在制造過程中隨機地生成。因此，多孔填料只是在統(tǒng)計意義上滿足自相似性和標度不變性這兩大分形基本特征。采用壓汞法求得的分數(shù)維值雖然不是精確的、絕對的分數(shù)維值，但這種測試方法仍然具有相當大的可靠性和相當重要的意義。?

4 結(jié)論

　　 分形是描述高度不規(guī)則的物體表面的有力物理工具，本文運用分形和分數(shù)維的有關概念，討論了多孔填料分形特征和分數(shù)維計算的方法，并進行了相應的計算分析，結(jié)論如下：
　?、俣嗫滋盍系谋砻婧臀⒖捉Y(jié)構(gòu)存在典型的分形現(xiàn)象，可以用壓汞法測定其分數(shù)維。?
　?、趯ρ芯克捎玫亩嗫滋盍希娣e分數(shù)維D_S為3.56～3.73，容積分數(shù)維D_V為3.78～3.90。?
　?、鄱嗫滋盍系姆中翁卣骷胺謹?shù)維為研究填料的燒制和填料的性能提供了新思路和新方法。 ??

參考文獻：?

　?。?］張濟忠.分形［M］.北京：清華大學出版社，1995.
　?。?］Anderson G K et al.Comparison of porous and non-porous media i n upflow anaerobic filters when treating dairy wastewater［J］.Wat Res，1994. ?
　?。?］許保玖，龍騰銳等.當代給水與廢水處理原理［M］.北京：高等教育出版社，1991.

　　作者簡介：龍騰銳(1939- )，男，湖南新邰人，重慶建筑大學教授，碩士，主要研究方向為水污染控制規(guī)劃和廢水處理。
　　電　話：(023)65120235?
　　傳　真：(023)65120810?
　　收稿日期：1999-05-04