任伯幟¹，許仕榮²，王濤²

(1.湘潭工學(xué)院土木工程系，湖南湘潭 411201；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙410082)

　　摘要：在參與長沙市暴雨強(qiáng)度公式的編修實踐中，應(yīng)用二元插值理 論細(xì)化及擴(kuò)展離均系數(shù)表，用最小二乘法適線確定皮爾遜—Ⅲ型分布統(tǒng)計參數(shù)，驗證結(jié)果表 明用該方法獲得的皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線與實測暴雨強(qiáng)度統(tǒng)計資料擬合得最好。
　　關(guān)鍵詞：暴雨強(qiáng)度公式；統(tǒng)計參數(shù)；頻率分析；二元插值理論 ；最小二乘法適線
　　中圖分類號：TU832.6
　　文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C
　　文章編號： 1000-4602(2001)01-0040-03

　　在編制城市暴雨強(qiáng)度公式時，從各歷時降雨強(qiáng)度數(shù)列表得到降雨強(qiáng)度—降雨歷時—重現(xiàn)期( 即I-t-P)數(shù)據(jù)關(guān)系表，一般有兩種方法：①經(jīng)驗頻率法；②用某種理論或經(jīng)驗的頻率曲線對各歷時降雨強(qiáng)度數(shù)列中的經(jīng)驗數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，再得出I-t-P表。皮爾遜—Ⅲ型分布曲線3個待定參數(shù)(均值x、離差系數(shù)Cv和偏差系數(shù)Cs)的確定通常采用矩法、極大似然法和適線法，其中適線法又包括試錯適線法、三點(diǎn)(或五點(diǎn))適線法、最小二乘法適線等。實際工作中發(fā)現(xiàn)矩法誤差大，極大似然法試算結(jié)果的敏感度不強(qiáng)，計算繁雜，有時還得不到合理的共解，再者系列中最小值對估計參數(shù)影響極大，故水文數(shù)據(jù)不齊全，一般不隨便使用。適線法中的三點(diǎn)法除受計算者的主觀因素影響外，在數(shù)據(jù)點(diǎn)較多較散亂時，結(jié)果往往不理想，曲線遠(yuǎn)離經(jīng)驗頻率點(diǎn)；試錯適線法要人為修改3個參數(shù)，往往受計算者的主觀因素影響含一定的經(jīng)驗性，特別是曲線的外延部分差別更大，加之在以往的適線法中，離均系數(shù)Φ是人為直線內(nèi)插所得，計算煩瑣，精度不高，從而給參數(shù)確定帶來一定的困難。為解決這一困難，在計算機(jī)的輔助下，應(yīng)用二元插值及最小二乘法聯(lián)合求解，從而可確定三參數(shù)。

　　1 皮爾遜—Ⅲ型分布理論

　　皮爾遜—Ⅲ型分布的密度函數(shù)為：

　　式中α、β、α0經(jīng)適當(dāng)換算，可以用3個統(tǒng)計參數(shù)x、Cv、C s表示：

　　皮爾遜—Ⅲ型分布曲線見圖1。通過頻率分析，可求出相應(yīng)于指定頻率(P%)的數(shù)值xp。

圖1 皮爾遜—Ⅲ型分布曲線圖

　　令t=β(x-α0)，用代換積分法得：

　　由式(4)可知，當(dāng)P已知時，tP僅依賴于α或Cs(因α= 4C2s)，將式(2)代入tP=β(xP-α0)得：

　　式中　Φ—— 離均系數(shù)
  　　　　　xP—— 由分布曲線得出的暴雨強(qiáng)度
　　當(dāng)已知P及Cs后，tP可求，則：

　　因此，在已知x、Cv或Cs的條件下，頻率曲線(P與xP的關(guān)系)就能繪制出，從而可得到(I-t-P)數(shù)據(jù)表。

　　2  三參數(shù)(x、Cv、Cs)的確定

　　2.1(P，Cs) —Φ值表細(xì)化及擴(kuò)展
　　用皮爾遜—Ⅲ型曲線擬合時，影響擬合精度的主要因素為Φ值，因此選用二元三點(diǎn)插值 方式將(P，Cs)—Φ表細(xì)化及擴(kuò)展。制定所需的(P，Cs)—Φ 表的方法為：
　　設(shè)P為x方向，Cs為y方向，Φ為插值點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值Z(x，y )。已知函數(shù)Z(x，y)的第一個變量x的結(jié)點(diǎn)為xi(不一定等距，i=0，1 …n)，第二個變量y的結(jié)點(diǎn)為yj(不一定等距，j=0，1，…m)，其對 應(yīng)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為Zij(i=0，1，2…n，j=0，1，2…m)。對于給定的不是結(jié)點(diǎn)的值(x，y)，分別選取最靠近x的3個點(diǎn)(xq，x q+1，xq+2)和靠近y的3個點(diǎn)(yu，yu+1 ，yu+2)，用二元三點(diǎn)插值公式計算出相應(yīng)的Z(x，y)，即 可得到所需的(P，Cs)—Φ表。
　　顯然，插值點(diǎn)分布越均勻越密，其對應(yīng)的函數(shù)值相差越小，插值結(jié)果越精確。
　　2.2最小二乘法適線
　　由最小二乘法的原理可知，為使一定歷時段內(nèi)的經(jīng)驗頻率點(diǎn)所對應(yīng)的實測暴雨強(qiáng) 度xi(又稱經(jīng)驗頻率強(qiáng)度)與理論頻率點(diǎn)所得出的暴雨強(qiáng)度xP(又稱理論頻率強(qiáng) 度)擬合得較好，則只需使經(jīng)驗頻率強(qiáng)度與理論頻率強(qiáng)度的離差平方總和或數(shù)學(xué)期望為最 小，即目標(biāo)函數(shù)為：

　　將式(7)代入式(8)得：

　　若已知經(jīng)驗頻率P′，給定一個Cs，由二元三點(diǎn)插值法可得與之相應(yīng)的Φ值 ，由式(10)可解出Cv。將Cs從0開始，按一定步長Δ增長(Δ可取0.01)，從而 得到不同組(Cs，x，Cv)值，每一組(Cs，x， Cv)值都對應(yīng)一條皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線，也對應(yīng)一個按式(9)計算的R 值，最后選用R值最小的一組(Cs，x，Cv)作為計算結(jié)果， 計算流程見圖2。

圖2  計算流程圖

　　3  應(yīng)用實踐

　　長沙市有連續(xù)25 a記錄的雨量資料，根據(jù)《室外排水設(shè)計規(guī)范》規(guī)定，每場暴雨取5 、10、15、20、30、45、60、90、120 min等9個歷時段的最大降雨強(qiáng)度，采用年多個樣法 每年取6個最大值，每個歷時的暴雨強(qiáng)度不分年次從大到小排序，選取其中前n(n 一般取4倍年份數(shù))個樣本作為頻率分析的基礎(chǔ)資料。經(jīng)驗頻率按P′＝m 1+n 計算(m為序號)，編制出采取矩法、試錯適線法、三點(diǎn)適線法及筆者的方法確 定皮爾遜—Ⅲ型分布統(tǒng)計參數(shù)及相應(yīng)的暴雨強(qiáng)度公式參數(shù)的應(yīng)用程序，計算結(jié)果 見表1。由繪圖模塊在海森幾率格紙上繪制出各方法求得的理論頻率曲線與經(jīng)驗點(diǎn)的擬合情 況(見圖3～4)。

  　　從表1可知，在擬合準(zhǔn)則及比較指標(biāo)均相同的條件下，無論σ絕還是σ總絕， 筆者的方法均優(yōu)于試錯適線法。由圖3、4可見，筆者的方法與經(jīng)驗點(diǎn)的擬合情況最好。

圖3皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線( 筆者的方法)	圖4皮爾遜—Ⅲ型理論頻率曲線( 試錯適線法)

　　4  結(jié)語

　　通過確定皮爾遜—Ⅲ型分布統(tǒng)計參數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)過程推求，結(jié)合長沙市的具體實踐驗證 ，得出如下結(jié)論：
　?、俟P者的方法由計算機(jī)自動調(diào)整參數(shù)Cs，減少了人為因素的影響。
　?、谠撚嬎惴椒ê唵?、速度快、精度高、適線較好，在推求長沙市暴雨強(qiáng)度公式 的實踐中證明是合理可行的，可用于城市暴雨強(qiáng)度理論頻率曲線的計算。

　　參考文獻(xiàn)：
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　　［3］范鳴玉，張瑩.最優(yōu)化基礎(chǔ)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1982.

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　　收稿日期：2000-10-09